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秩 (J程式語言)
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秩（Rank），是對非面向陣列的純量程式語言中循環的廣泛化[1][2]。它還是Lisp語言中的mapcar[3]，及現代函數式編程語言中的map高階函數的廣泛化，以及對APL\360中純量擴展[4]、矩陣的內積[5]和外積[6]的廣泛化[7]。秩的正規實現，是在J語言中，但也可獲得於APL語言實現如Dyalog APL[8]、ISO標準ISO/IEC 13751:2001的擴展APL[9]和NARS2000[10]。
簡介
秩有一些不同的含義。一般的說，秩的概念用於依據它們的子陣列來處理正交陣列[11]。例如，二維陣列可以在秩為2之下，按一個完整的矩陣進行處理；或者在秩為1之下，對它所包含的諸個一維列向量或行向量進行處理；或者在秩為0之下，對它所包含的諸個單獨元素進行處理。J語言中有三種秩：
- 名詞秩，名詞的秩是非負整數。
- 動詞秩，動詞的秩是三個整數的列表。
- 秩連詞，秩連詞
"用來導出具有指定秩的一個動詞。
名詞秩
在J語言中，名詞是陣列。名詞的秩是這個陣列的維數。儘管有時存在爭論[12]，人們通常用如下名字稱謂低維陣列[13]：
一個N維整數陣列可以通過i.建立，它接受一個整數向量作為參數。其中整數的數目定義了維數，而每個整數的絕對值定義對應維的長度。可以使用派生動詞#@$來確定一個名詞的秩。
i. 3
0 1 2
>:i. 3
1 2 3
i. 2 3
0 1 2
3 4 5
i. 2 3 4
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
#@$ i. 2 3 4
3
動詞秩
在J語言中，動詞是接受名詞參數產生名詞結果的函數。動詞的秩，控制著如何將動詞應用到秩大於0的名詞。採用副詞u b. 0來確定動詞u的秩。例如：
* b. 0
0 0 0
+/ b. 0
_ _ _
這裡的_「無窮」，指示將參數作為整體處理。動詞的秩被表達為三個數：
- 一元情況的秩
- 二元情況用於左參數的秩
- 二元情況用於右參數的秩
例如，−y使用−作為單子（monad），是一元情況；x−y使用−作為雙子（dyad），是二元情況。在所有情況下，有一些底層動詞被應用於「單元」（cell），它是有指示秩的子陣列。如果參數沒有動詞指示的那麼多維，在這種退化的情況下，動詞的秩會有效的縮減為參數實際的秩。
在動詞中，負數秩被解釋為，將提供為參數的名詞的秩，減少指示正值，但永不會變得小於零。例如，一個動詞具有一元秩負1，在給它一個秩為3的參數的時候，將參數分解成秩為2的陣列的一個列表。將動詞的主體，應用到這些二維子陣每個之上一次。
在特定動詞和特定名詞的上下文下，將名詞的諸維，劃分成前綴諸維的序列，稱為框架（frame）；和後綴諸維的序列，稱為單元（cell）。正數動詞秩，指示單元諸維的數目，負數動詞秩，指示框架諸維的數目。
秩連詞
秩連詞"，接受一個動詞左參數和一個名詞右參數來建立一個新動詞。
名詞右參數構成自三個數，分別指定一元秩、二元左秩和二元右秩[14]。如果右參數只有兩個數，第一個數是二元左秩，而第二個數是一元秩和二元右秩。如果右參數只有一個數，它被接受為所有三種情況下的秩。如果右參數是個動詞，就複製使用它的秩。例如：
(*"1 1 1) b. 0
1 1 1
(*"0 _) b. 0
_ 0 _
(*"1) b. 0
1 1 1
(*"<) b. 0
_ 0 0
如果給秩連詞的左參數是個名詞，建立一個常量動詞。這個動詞的主體忽略任何參數的值，並總是生成這個名詞的結果。
框架一致
在二元運算的情況下，左右兩個參數，都有自己的框架，二者必須達成一致（agreement）。左右兩框架經常是共同的。如果左右兩框架不是同一的，有三種可以運算的情況：
兩參數中一個的形狀序列，是另一個的形狀序列的前綴，例如：
(i. 2 3) * i. 2 3 4
0 0 0 0
4 5 6 7
16 18 20 22
36 39 42 45
64 68 72 76
100 105 110 115
這裡左側參數的短框架2 3，是右側參數的長框架2 3 4的前綴。求值這個動詞的結果，跟隨著前綴諸維序列2 3，是二元動詞應用到兩個有關單元的結果，即將左參數的每個0維純量，乘以右參數的每個1維陣列。
兩參數中一個的形狀序列，是另一個的形狀序列的後綴，可以通過秩連詞，指定動詞秩為維數少參數的秩，從而對它按整體處理，例如：
(i. 3 4) *"2 i. 2 3 4
0 1 4 9
16 25 36 49
64 81 100 121
0 13 28 45
64 85 108 133
160 189 220 253
這裡左側參數的短框架3 4，是右側參數的長框架2 3 4的後綴。求值這個動詞的結果，跟隨著前綴諸維序列2，是二元動詞應用到兩個有關單元的結果，即將左參數的作為整體的1個2維陣列，乘以右參數相同形狀的每個2維陣列。
指定動詞左右秩中的一個為_，即按整體處理，例如：
$ (i.2 3) (*"0 _) i.3 4
2 3 3 4
$ (i.2 3) (*"_ 0) i.3 4
3 4 2 3
$ (i.2 3) (*"1 _) i.3 4
2 3 4
$ (i.2 3) (*"_) i.2 3 4
2 3 4
這裡第一個運算的左秩為0，而右秩為按整體處理；求值的結果中跟隨著左參數的諸維序列2 3的，是將左參數的每個0維純量，乘以右參數的作為整體的2維陣列的結果。第二個運算的左右秩與第一個運算相反，其結果中來自二者的諸軸的前後次序也與之相反。第三個運算的左秩為1，而右秩為按整體處理；跟隨著左參數的諸維序列2的，是將左參數的每個1維向量，乘以右參數的作為整體的2維陣列的結果。第四個運算的左右秩都按整體處理，則同於前綴情況。
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秩作為循環的泛化
理解秩要求知道一些非常基礎的面向陣列編程概念。在大多數基於陣列的語言中，歸約（reduction）用前向斜槓/來指示。在J語言中，斜槓接受一個函數左參數，和要被這個函數歸約的陣列作為右參數。將加法歸約應用到一個1維陣列：
+/ 1 2 3
6
預期的結果是1 + 2 + 3。
將加法歸約應用到一個2維陣列：
+/ i. 2 3
3 5 7
預期結果是0 1 2 + 3 4 5。+/的秩為_「無窮」，即將參數作為整體來運算，+算符被映射到這個陣列的最高秩之上。對2個向量進行歸約，參數名詞的形狀從2 3變為1 3即3，結果是合計了每行元素的長度為3的1維陣列。這個代碼對應如下APL2及其派生者的代碼：
+⌿ 2 3⍴⍳6
3 5 7
還對應於如下C語言代碼片段[15]：
for(j = 0; j < 3; ++j) {
sum[j] = 0;
}
for(i = 0; i < 2; ++i) {
for(j = 0; j < 3; ++j) {
sum[j] += array[i][j];
}
}
假定需要合計每列元素，而得到長度為2的1維陣列，在C語言代碼中如下這樣寫：
for(i = 0; i < 2; ++i) {
sum[i] = 0;
for(j = 0; j < 3; ++j) {
sum[i] += array[i][j];
}
}
在APL中不需要用到循環構造，這個代碼寫為：
+/ 2 3⍴⍳6
3 12
在J語言中使用秩連詞可以寫為：
+/"1 i. 2 3
3 12
+/"_1 i. 2 3
3 12
為了進一步展示在J語言中秩是如何工作的，以3維陣列上的加法歸約為例子：
a=: i. 2 3 4
+/ a
12 14 16 18
20 22 24 26
28 30 32 34
+/"_1 a
12 15 18 21
48 51 54 57
(+/"_1 a) -: +/"2 a
1
+/"1 a
6 22 38
54 70 86
(+/"1 a) -: +/"_2 a
1
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引用
延伸閱讀
外部連結
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