積分因子

積分因子（英語：integrating factor）是一種用來解微分方程的方法。

方法

考慮以下形式的微分方程：

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)}$

其中${\displaystyle y=y(x)}$是${\displaystyle x}$的未知函數，${\displaystyle a(x)}$和${\displaystyle b(x)}$是給定的函數。

我們希望把左面化成兩個函數的乘積的導數的形式。

考慮函數${\displaystyle M(x)}$。我們把(1)的兩邊乘以${\displaystyle M(x):}$

${\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)}$

如果左面是兩個函數的乘積的導數，那麼：

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)}$

兩邊積分，得：

${\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}$

其中${\displaystyle C}$是一個常數。於是，

${\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,}$

為了求出函數${\displaystyle M(x)}$，我們把(3)的左面用乘法定則展開：

${\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad }$

與(2)比較，可知${\displaystyle M(x)}$滿足以下微分方程：

${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,}$

兩邊除以${\displaystyle M(x)}$，得：

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)}$

等式(5)是對數導數的形式。解這個方程，得：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.}$

我們可以看到，${\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)}$的性質在解微分方程中是十分重要的。${\displaystyle M(x)}$稱為積分因子。

例子

解微分方程

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

我們可以看到，${\displaystyle a(x)={\frac {-2}{x}}}$：

${\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

兩邊乘以${\displaystyle M(x)}$，得：

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

或

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}$

可得

${\displaystyle y(x)=Cx^{2}.}$

一般的應用

積分因子也可以用來解非線性微分方程。例如，考慮以下的非線性二階微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}$

可以看到，${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$是一個積分因子：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}$

利用複合函數求導法則，可得：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}$

因此

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}$

利用分離變量法，可得：

${\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},}$

這就是方程的通解。

參見

• 微分方程
• 乘法定則
• 全微分

參考文獻

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.