窮竭法

此條目介紹的是以極限逼近求圖形面積的方法。關於數學證明方法，請見「窮舉法」。

窮竭法 (英語：Method of exhaustion; 拉丁語：methodus exhaustionibus)，有時被誤譯為「窮舉法」^[1][2]，是一種求圖形面積的方法，其通過構造一個內接（英語：Inscribed figure）多邊形序列，使這些多邊形的面積收斂到所求圖形面積。如果這個多邊形序列構造得當，那麼其第n項的面積與所求圖形面積之差在n足夠大時便可以小於任意給定正數。因為這個面積差可以任意小，是故該圖形面積的可能值便系統性的被該多邊形序列中的成員的面積所給出的一系列下界「窮竭」掉了。

窮竭法在應用時一般須訴諸歸謬法，後者是反證法的一種形式。具體來說就是，為了求某圖形面積，而將其與第二個圖形（該圖形可以作「窮竭」式的變形，而使其面積任意接近所求面積）來作比較。證明過程牽涉到先假定所求面積大於第二圖形的面積，並證明其偽，接下來假定所求面積小於第二圖形的面積，並將其也證偽。

歷史

Grégoire de Saint-Vincent

此法思想始自公元前5世紀的安提豐，雖然不很清楚他對此法理解到什麼程度^[3]。數十年後，這個理論由歐多克索斯加以嚴格化，用以計算面積和體積。此法於公元3世紀被中國的劉徽重新發明，用以計算圓面積^[4]。「窮竭法」這個名稱是由Grégoire de Saint-Vincent（英語：Grégoire de Saint-Vincent）於1647年在其著作《求圓與圓錐曲線的面積》(Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni)中首次使用。

窮竭法被看作微積分方法的先導。解析幾何與積分學在17世紀至19世紀的發展涵蓋了窮竭法，所以此法不再被顯式的運用。另一個重要的發展是Cavalieri原理，亦稱作「不可分量法」，再進一步便引至Roberval（英語：Gilles de Roberval）, 托里拆利, Wallis, 萊布尼茨等人的無窮小量演算(infinitesimal calculus)，即標準微積分學的前身。

歐幾里得

歐幾里得在其所著《幾何原本》第12卷中，用窮竭法證明了以下六個命題。

命題2

圓面積與其直徑的平方成正比。^[5]

命題5

兩個等高的四面體的體積比等於其底面三角形的面積比。^[6]

命題10

圓錐體的體積等於同底等高的圓柱體體積的三分之一。^[7]

命題11

等高的圓椎體（或圓柱體）的體積正比於底面面積。^[8]

命題12

相似的圓錐體（或圓柱體）的體積正比於其底面直徑的立方。^[9]

命題18

球體積正比於其直徑的立方。^[10]

阿基米德

主條目：圓周率

阿基米德用窮竭法計算圓面積

阿基米德使用窮竭法來計算圓周所圍住的面積，具體說來就是用一個面積越來越大，邊數越來越多的多邊形來填充這個圓。當多邊形的邊數越來越多時，其面積與圓半徑的平方之商可以任意接近π，由此證明半徑為r的圓周所圍面積為πr²，其中π定義為圓的周徑之比(C/d)或圓面積與半徑平方之比(A/r²).

他還通過比較圓內接和外切正96邊形的周長而給出上下界估計 3 + ¹⁰/₇₁ < π < 3 + ¹⁰/₇₀ (此區間之寬度為 ¹/₄₉₇).

他用窮竭法獲得的其它結果包括:^[11]

• 一條直線與一條拋物線相交，所圍出的面積等於同底同高的三角形面積的4/3倍；
• 橢圓面積與以其長軸和短軸為邊長的矩形的面積成正比；
• 球體體積等於以該球半徑為底面半徑和高的圓錐體積的4倍；
• 一個圓柱，若其高等於其底面直徑，則其體積為同樣直徑的球體體積的3/2倍；
• 等速螺線的第一周所掃過的面積等於以第一周終點與起點之間距離為半徑的圓的面積的1/3;
• （首次）求出了一個幾何級數的和。

參見

• 數學主題

• The Method of Mechanical Theorems（英語：The Method of Mechanical Theorems）
• The Quadrature of the Parabola（英語：The Quadrature of the Parabola）
• 梯形公式