等對角線四邊形

在歐幾里得幾何中，等對角線四邊形（英語：Equidiagonal quadrilateral，也稱為等軸四邊形）是指對角線長相等的凸四邊形。等軸四邊形是古印度數學中的重要概念，古印度數學家把四邊形先分為等軸和非等軸，再往下分類^[1]。換句話說，就是將等腰梯形、矩形等分為一類，直角梯形、菱形等分為另一類。

等軸四邊形，紅色為對角線，藍色為雙中線，其伐里農平行四邊形為菱形

特殊例子

等對角線四邊形包含等腰梯形、矩形和正方形。

周長-直徑比最大的等軸鳶形內接於勒洛三角形。

周長-直徑比最大的四邊形是內角為π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等軸鳶形。^[2]

特徵

若且唯若凸四邊形的伐里農平行四邊形（由四邊的中點連接而成的平行四邊形）為菱形，則它是等對角線的，相當於此凸四邊形的雙中線（伐里農平行四邊形的對角線）互相垂直。^[3]

設某凸四邊形的對角線長度為${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，雙中線長度${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，則它是等對角線的，若且唯若^[4]:Prop.1

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

面積

等對角線四邊形的面積K可以用其雙中線長度m和n求出。某四邊形是等對角線的，若且唯若^{[5]:p.19; [4]:Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

這是因為凸四邊形的面積是其伐里農平行四邊形的兩倍，以及此平行四邊形的對角線是此凸四邊形的雙中線。根據雙中線長度的公式，等對角線四邊形的面積可以用四邊邊長${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$以及對角線中點的距離${\displaystyle x}$表示：^[5]:p.19

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

在凸四邊形的面積公式中設p = q，也可以得到其他面積公式。

與其它四邊形的關係

若且唯若平行四邊形是矩形，則它是等對角線的^[6]

等軸四邊形的對偶多邊形是正交四邊形，若且唯若四邊形的伐里農平行四邊形是正交的（菱形），則它是等軸的；若且唯若它的伐里農平行四邊形是等軸的（矩形），則它是正交的^[3]。換言之，若且唯若四邊形的雙中線互相垂直，則它的對角線相等；若且唯若四邊形的雙中線互相相等，則它的對角線互相垂直。

等腰梯形

對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形

通過全等三角形（SSS），易證若且唯若梯形是等腰梯形時，則它的對角線相等。同樣，通過全等三角形（SAS）易得圓內接四邊形對角線相等時必定是等腰梯形。

圓外切四邊形的對角線長p, q與四個頂點出發的切線長e, f, g, h的關係為 ^[7]:Lemma2：

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

當p=q時，兩邊平方，相減後可得${\displaystyle e+h=f+g}$，暨一對對邊長相等，通過全等三角形（SSS）可得其為等腰梯形，暨對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形。

中方四邊形

在所有四邊形中，等軸正交四邊形（對角線的長度大於或等於所有邊）的直徑-面積比最高，所以是最大面積最小直徑四邊形（英語：biggest little polygon）問題中n = 4的解。正方形是其中一例，但此類四邊形有無限個。等軸正交四邊形也稱作中方四邊形（英語：midsquare quadrilateral）^{[4]:p. 137}，因為它們是唯一一種伐里農平行四邊形為正方形的四邊形。設此類四邊形的相鄰邊長為${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$，則其面積等於^[4]:Thm.16

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right)}$

中方平行四邊形即是正方形。

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  一般中方四邊形
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  中方梯形
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  中方鳶形
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  「中方平行四邊形」：正方形