等冪和差

等冪和差，又稱冪和差，指同是${\displaystyle n}$次冪的${\displaystyle a}$與${\displaystyle b}$的和與差，即${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}}$。

等比數列求和公式的推導

等冪和

當${\displaystyle n}$為奇數時有：

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

因尾項必須為${\displaystyle +b^{n-1}}$，故${\displaystyle n}$不能取偶數。

等冪差

首項為1、公比為${\displaystyle q}$的等比數列求和後得出：

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$

設${\displaystyle q={\frac {a}{b}}}$，換算後即有：

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

逆定理

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}}$

注意${\displaystyle \sum _{r=1}^{2n-1}a^{4n-2-2r}b^{2r-2}}$可進行因式分解，例如：

${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}={\frac {a^{6}-b^{6}}{a^{2}-b^{2}}}={\frac {(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{(a+b)(a-b)}}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

另解：${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

參見

• 盧卡斯數列
• 等冪求和