簡諧運動

簡諧運動，或稱簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力（或物體的加速度）的大小與位移的大小成正比，並且力（或物體的加速度）總是指向平衡位置。

如果用${\displaystyle F}$表示物體受到的回復力，用${\displaystyle x}$表示物體對於平衡位置的位移，根據虎克定律，${\displaystyle F}$和${\displaystyle x}$成正比，它們之間的關係可用下式來表示：

${\displaystyle F=-kx}$^[1]

式中的${\displaystyle k}$是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二運動定律「${\displaystyle F=ma}$」當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受淨力的大小成正比，跟淨力的方向相同，且系統的機械能守恆。

動力學方程式

同一簡諧運動在實空間和相空間的不同顯示。軌道（英語：Orbit (dynamics)）是週期性的。（為使兩圖一致，這裡的速度軸和位置軸與標準慣例相反）

對於一維的簡諧振動，其動力學方程式是二階微分方程式，可由牛頓第二運動定律得到

${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}}$

回復力又可表示為${\displaystyle F=-kx}$

所以有${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0}$

求解上述方程式，得到的解含有正弦函數

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}$，其中

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$

${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle c_{2}}$是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點，每項都有物理意義：${\displaystyle A}$是振幅，${\displaystyle \omega =2\pi f}$是角頻率， 加速度可以作為時間的函數得到

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle v_{max}=\omega A}$（在平衡位置）

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}$

${\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A}$（在最大位移處）

加速度也可以通過位移的函數得到

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!}$。

因為 ${\displaystyle \omega =2\pi f}$，

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$，

又因為週期 ${\displaystyle T={\frac {1}{f}}}$，所以：${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$。

以上方程式說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動週期和振幅以及相位無關。^[1]:163

線性回復力

在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。

彈簧

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。平杆穿入小球體，使球體可以在水平杆上左右滑動，而球體與水平杆的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的位能轉換為振子的動能，位能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作位能，動能降低，位能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為位能，振子速度為零，停止運動。位能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，位能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

振幅、週期和頻率

1.振幅

振幅${\displaystyle A}$代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於${\displaystyle {\sqrt {E}}}$，即它的平方正比於系統的機械能E。

2.角頻率

角頻率：${\displaystyle \omega =2\pi f}$, 頻率f為週期T的倒數。

其中${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。推導過程：

${\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })}$

對於時間t求導， ${\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })}$

再關於時間t求導，${\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })}$

由牛頓第二運動定律得${\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}}$

兩式聯立得${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$。

下圖為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦或餘弦曲綫。

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的時間叫週期，單位時間內完成全振動的次數叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

簡諧振動的判定

1. 如果一個質點在運動中所受的淨外力是一個簡諧力

   ${\displaystyle F=-kx}$

   即淨外力的大小與位移成正比且方向相反，那麼我們稱這個質點的運動是簡諧振動。在彈簧振子模型中，比例係數${\displaystyle k}$即為彈簧係數，或稱倔強係數（勁度係數）。
2. 如果一個質點的運動方程式有如下形式

   ${\displaystyle x=A\cos {(\omega t+\phi )}}$

   即，質點的位移隨時間的變化是一個簡諧函數，顯然此質點的運動為簡諧振動。
3. 如果一個質點的動力學方程式可以寫成

   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}x=0}$

   其中${\displaystyle \omega ^{2}}$為正的實數。則質點的運動是一個簡諧振動
4. 如果質點在運動過程中具有形式為${\displaystyle ({\frac {1}{2}}kx^{2})}$的彈力位能，且

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E}$

   則質點的運動為簡諧振動

應該說明：

1. 以上各判定方法是完全等價的；
2. 以上各表達式中的${\displaystyle x}$既可以是線量（線位移），又可以是角量（角位移），相應的，速度可以為線速度和角速度，對應的加速度是線加速度和角加速度。

例子

彈簧

把質量為${\displaystyle M}$的物體懸掛在彈力常數為k的彈簧的底端，則物體將進行簡諧運動，其方程式為：

${\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}$

如果要計算它的週期，可以用以下的公式：

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}}$。

總能量是常數，由方程式${\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}$給出。

等速率圓周運動

等速率圓周運動的一維投影是簡諧運動。如果物體以${\displaystyle \omega }$的角速率沿著半徑為${\displaystyle R}$的圓移動，則它在x軸、y軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅為${\displaystyle R}$，角速率為${\displaystyle \omega }$。

單擺

在偏角不太大的情況（一般認為小於5°）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。如果單擺的長度為${\displaystyle \ell }$，重力加速度為${\displaystyle g}$，則週期為：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

這個公式僅當偏角很小時才成立，因為角加速度的表達式是與位置的正弦成正比的：

${\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }$

其中I是轉動慣量，在這種情況下${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$。當${\displaystyle \theta }$很小時，${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$，因此上式變為：

${\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }$

這使得角加速度與${\displaystyle \theta }$成正比，滿足了簡諧運動的定義。單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。^[1]:165

參閱

• 物理主題

• 平移運動
• 等速運動
• 平拋運動
• 曲線運動

參考資料

1. 趙志敏. 高中教程。基础篇. 復旦大學出版社. 2011年10月. ISBN 978-7-309-08251-7 （中文（中國大陸））.

外部連結

• 彈簧震動Java模擬 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）