總變差去噪

總變差去噪（英語：Total Variation Denoising）是訊號處理中一種常見的降噪方法，於1992年由L. I. Rudin、S. Osher（英語：Stanley Osher）和E. Fatemi提出，因此亦稱為ROF模型^[1]。一個含有雜訊的訊號相較於其未受雜訊影響的訊號，會有較大的總變差值，即其梯度絕對值的總和較大。因此若能找到一個與原始訊號相似且總變差較小的訊號，即可作為原始訊號的降噪結果。此算法可以在去除雜訊的同時保留邊緣，即使在低訊號雜訊比的情況下，依然能有效的去噪和保留邊緣。

總變差

參見：總變差

總變差為一函數其數值變化的總和。可表示為其微分後取絕對值再積分的結果。

一維連續函數

若一函數${\displaystyle y=f(x)}$為一維連續可微函數，其在區間${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$之總變差定義為

${\displaystyle TV_{a}^{b}(y)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx}$,

其中${\displaystyle f'(x)}$為${\displaystyle f(x)}$的一次微分。

當${\displaystyle f(x)}$不可微分時，其總變差由一般性的定義給出:

${\displaystyle TV_{a}^{b}(y)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|}$,

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$為區間${\displaystyle [a,b]}$中所有可能的分割，即${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}|P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$。

一維離散函數

若一函數${\displaystyle y=f(x)}$為一維離散函數，則其總變差定義為

${\displaystyle TV(y)=\sum _{n}|f(x_{n+1})-f(x_{n})|}$.

即差分後取絕對值再加總的結果。

一維訊號去噪

設輸入的觀察訊號為${\displaystyle x}$，對${\displaystyle x}$去噪得到的訊號為${\displaystyle y}$。我們可以透過解最佳化問題來從${\displaystyle x}$得到${\displaystyle y}$。當以總變差去噪法對訊號進行去噪時，最佳化問題應滿足以下兩個條件:

• ${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$相似，以保留訊號整體的結構性
• ${\displaystyle y}$的總變差不大，以降低雜訊

在數學上，兩個訊號的相似度可以以兩者差的${\displaystyle L_{2}}$-範數表示，即

${\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|_{2}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}}$,

其中${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{2}}$即為${\displaystyle L_{2}}$-範數，而${\displaystyle x_{n},y_{n}}$為訊號的取樣點。

藉由上述數學表達式，總變差去噪法的最佳化問題可以寫成

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}$.

即利用最小平方法，並以總方差作為正規化的正規項，以求得去噪結果。其中${\displaystyle \lambda }$為正規化參數，用於調整正規項的重要程度。

由於${\displaystyle E(x,y)}$和${\displaystyle TV(y)}$皆為凸函數，因此一維總變差去噪的最佳化為一凸優化問題^[2]，有許多凸優化演算法可以求解，且其解必為全局最佳值。

影像去噪

影像為二維離散訊號，在ROF模型中定義的總變差為

${\displaystyle TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{2}=\sum _{m,n}{\sqrt {|y_{m+1,n}-y_{m,n}|^{2}+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|^{2}}}}$,

其中${\displaystyle \nabla }$為梯度運算子。

然而該定義不可微分，做為最佳化問題的正規項時不易求解。因此也有${\displaystyle L_{1}}$-範數形式的二維總變差

${\displaystyle TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{1}=\sum _{m,n}(|y_{m+1,n}-y_{m,n}|+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|)}$.

最佳化問題的形式與解一維訊號形式相同

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}$.

然而二維訊號的最佳化問題不一定為凸優化問題，因此無法以常見凸優化演算法求解。目前發展能求解的演算法有原始-對偶演算法（英語：Wikipedia:primal-dual method）^[3]、交替方向乘子法(ADMM)^[4]、布雷格曼方法（英語：Wikipedia:Bregman method）^[5]等等。

其他變形

高階微分

總變差的概念為先微分取絕對值後再積分。因此在一些文獻中^[6]有使用到二階微分以上的例子。 當處理訊號為離散訊號時，二階差分的形式如下

${\displaystyle f''(x_{n})=f(x_{n-1})-2f(x_{n})+f(x_{n+1})}$

因此使用二階差分的總變差可定義為

${\displaystyle TV^{(2)}(y)=\sum _{n}|f''(x_{n})|}$

而最佳化問題的形式為

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda _{1}TV(y)+\lambda _{2}TV^{(2)}(y)}$

雙邊總變差去噪

雙邊總變差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正規項^[7]。該正規項基於總變差，結合雙邊濾波器的概念而成。主要應用於影像復原。

雙邊總變差的形式如下

${\displaystyle BTV(\mathbf {Y} )=\sum _{l=-P}^{P}\sum _{m=\max(0,-l)}^{P}\lambda ^{|l|+|m|}\left\|\mathbf {Y} -\mathbf {S} _{x}^{l}\mathbf {S} _{y}^{m}\mathbf {Y} \right\|_{1}}$,

其中${\displaystyle \mathbf {Y} }$為處理圖片，${\displaystyle \mathbf {S} _{x}^{l}}$與${\displaystyle \mathbf {S} _{y}^{m}}$為兩個運算子，分別代表將圖片水平移動${\displaystyle l}$個像素與垂直移動${\displaystyle k}$個像素。${\displaystyle \lambda }$為權重，隨著平移距離遞減。

當${\displaystyle l=1,m=0}$和${\displaystyle l=0,m=1}$時，圖片的每一個像素與相鄰之下一個像素相減，此時的雙邊總變差與總變差相同。當${\displaystyle l,m}$為其它值時，可以當成是計算斜線方向以及將圖片降採樣後的總變差值。如此達到更好的正規化效果。

根據S.Farisu的實驗結果^[7]，雙邊總變差相對於總變差，邊界模糊的情況較少，能夠更好的保留原圖片邊界。

參見

• 數位訊號處理
• 最佳化
• 影像降噪
• 高斯模糊
• 中值濾波器
• 雙邊濾波器
• 非等向性擴散
• 非局部平均
• 三維塊匹配算法