凸函數
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凸函數(英文:Convex function)是指函數圖形上,任意兩點連成的線段,皆位於圖形的上方的實值函數,[1]如單變數的二次函數和指數函數。二階可導的一元函數為凸,若且唯若其定義域為凸集,且函數的二階導數在整個定義域上非負。直觀理解,凸函數的圖像形如開口向上的杯,而相反,凹函數則形如開口向下的帽。


在最優化研究中,凸函數的最小化問題有唯一性,即凸開集上的嚴格凸函數,至多只有一個極小值。
概率論中,凸函數作用在某隨機變量期望值所得的結果,總不大於對隨機變量先取函數值再取期望,即
定義
則 稱為凸函數。
若 ,然後在 圖像上任取兩點和 連線,則連線上某點 的 座標可以想成從 出發,前進了 這整段的一部分而已,也就是說
循著同樣的比例 , 的 座標就可以寫成
但同樣的 座標下,對應的 函數值就是
所以,凸函數的定義意為, 的圖像上,任意相異兩點的連線不能低於中間 的曲線。[2]換言之,函數的上境圖(圖像上方的點的集合)為凸集。
若將定義的號換成,則得到嚴格凸的定義:
稱為嚴格凸,意思是對和任意不相等的,皆有
若 ,在嚴格凸函數的圖像曲線上,任意兩相異點的連線,除端點外皆高於曲線。
若 ,實值函數 對於任意三實數 ,都有,則稱 是幾乎凸的。
性質
凸函數的某些性質,多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質,可能僅於多元情況列舉,恕不在一元情況贅述。

- 設是一元實函數,定義域為區間。考慮割線斜率則函數是對稱函數,即關於。為凸,當且僅當對每個固定的,皆有關於單調不減(或由對稱性,可將此句中互換)。此刻劃有助證明以下的結果。
- 若一元凸函數定義在開區間內,則在C內連續,且處處有左側及右側的單邊導數。如此定義的兩個單邊導函數,皆為單調不減。由此推出,除可數個點外,在其他點皆可微(不過不可導的點組成的集合,仍有可能稠密)。如果是閉區間,那麼有可能在的端點不連續,見例子。
- 一元可微函數在區間上是凸的,若且唯若函數位於所有它的切線的上方:[3]:69對於區間內的所有和,都有特別地,如果,則上式化為,故是的最小值。
- 一元可微函數在某個區間上是凸的,若且唯若它的導數在該區間上單調不減。若一元函數既凸又可導,則其導數也連續。
- 一元二階可微的函數在區間上是凸的,若且唯若它的二階導數是非負的;這是判斷某個函數是否凸的實用方法。直觀地,二階可導的凸函數「向上彎」,而不會屈向另一邊(即無拐點)。如果它的二階導數是正數,那麼函數就是嚴格凸的,但反過來不成立。例如,的二階導數是,當時為零,但是嚴格凸的。
- 此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若在區間非負,則的確在單調不減。反之則不然,因為可能有在單調不減,但在某點不可導,即在中某點無定義。
- 若為一元凸函數,且,則在正數集內為超可加函數,即對任意正實數成立。
更一般地,多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的,若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是半正定的。
對於凸函數f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函數不一定是凸函數;這樣的函數稱為擬凸函數。
凸函數的初等運算
- 如果和是凸函數,那麼和也是凸函數。
- 如果和是凸函數,且遞增,那麼是凸函數。
- 凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果是凸函數(),那麼也是凸函數,其中
- 如果在內是凸函數,且是一個凸的非空集,那麼在內是凸函數,只要對於某個,有。
例子
- 函數處處有,因此f是一個(嚴格的)凸函數。
- 絕對值函數是凸函數,雖然它在點x = 0沒有導數。
- 當時,函數是凸函數。
- 定義域為[0,1]的函數f,定義為f(0)=f(1)=1,當0<x<1時f(x)=0,是凸函數;它在開區間(0,1)內連續,但在0和1不連續。
- 函數的二階導數為,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數,在x ≤ 0的集合上是凹函數。
- 每一個在內取值的線性變換都是凸函數,但不是嚴格凸函數,因為如果f是線性函數,那麼。如果將「凸」替換為「凹」,該命題也成立。
- 每一個在內取值的仿射變換,也就是說,每一個形如的函數,既是凸函數又是凹函數。
- 每一個範數都是凸函數,這是由於三角不等式。
- 如果是凸函數,那麼當時,是凸函數。
- 和為單調遞增但非凸的函數。
- 函數f(x) = 1/x2,f(0)=+∞,在區間(0,+∞)內是凸函數,在區間(-∞,0)內也是凸函數,但是在區間(-∞,+∞)內不是凸函數,這是由於x = 0處的奇點。
參見
參考文獻
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