胡列維茨定理

提示：此條目的主題不是胡爾維茨定理。

在數學中，胡列維茨定理是代數拓撲的一個基本結論。定理通過「胡列維茨同態」將同倫論與同調論聯繫起來，是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨（英語：Witold Hurewicz）命名。

定理陳述

胡列維茨定理是連接同倫群和同調群的關鍵一環。

絕對版本

對於任意空間 ${\displaystyle X}$ 和任意正整數 ${\displaystyle k}$，都存在群同態（構造見本小節末尾）

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!}$

稱為從 ${\displaystyle k}$ 階同倫群到 ${\displaystyle k}$ 階（整係數）同調群的胡列維茨同態。當 ${\displaystyle k=1}$ 且 ${\displaystyle X}$ 道路連通時，胡列維茨同態等價於標準的阿貝爾化映射

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!}$

胡列維茨定理聲明，若 ${\displaystyle X}$ 是(n -1)-連通空間，那麼對於所有 ${\displaystyle k\leq n}$，胡列維茨同態都是群同構（當 ${\displaystyle n\geq 2}$）或阿貝爾化（當 ${\displaystyle n=1}$）。特別地，定理說明第一同倫群（即基本群）的阿貝爾化同構於第一同調群：

${\displaystyle H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!}$

因此，如果 ${\displaystyle X}$ 道路連通且 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 是完美群，那麼 ${\displaystyle X}$ 的第一同調群為零。

此外，當 ${\displaystyle X}$ 是(n -1)-連通時（${\displaystyle n\geq 2}$），胡列維茨同態 ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$ 都是滿同態（滿射）。

胡列維茨同態由如下方式給定：設 ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$ 為標準生成元，那麼胡列維茨映射將同倫類 ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ 映射到 ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$。

相對版本

三元版本

單純集合版本

拓撲空間的胡列維茨定理對於n-連通、滿足闞條件的單純集合也有對應陳述。^[1]

有理胡列維茨定理

設 ${\displaystyle X}$ 為單連通拓撲空間，並對於所有 ${\displaystyle i\leq r}$ 滿足 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$。那麼胡列維茨映射

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

對於 ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$ 為同構，且對於 ${\displaystyle i=2r+1}$ 是滿射。^[2][3]