胡爾維茲定理

在代數學中，胡爾維茲定理（又名「1,2,4,8定理」）是以在1898年證明它的阿道夫·胡爾維茲命名。該定理表明：任何帶有單位元的賦範可除代數同構於以下四個代數之一：R,C,H和O，分別代表實數、複數、四元數和八元數。^[1][2]對實賦範可除代數的分類始於弗洛比紐斯^[3] ，發揚於胡爾維茲^[4]，由佐恩整理為一般形式^[5]。一個簡短的歷史摘要可見Badger^[6]。

完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫^[7]或者夏皮羅^[8]處找到。一個基本的想法是，如果一個代數A是成正比於1的，那麼它同構於實數。否則，我們使用凱萊-迪克森結構擴展子代數以同構於1，並引入一個向量正交於1。此子代數是同構於複數的。如果它不是A的全體，那麼我們再次使用凱萊-迪克森結構和另一個與複數正交的向量，得到一個與四元數同構的子代數。如果這還不是不是A的全體，我們重複以上行為一次，並得到同構於凱萊數（或八元數）的子代數。我們現在有一個定理，說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數是結合的。凱萊數不是結合的，因此必須為A。

胡爾維茲定理也可以用於證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n為1,2,4或者8時^[9]。

參考文獻