賦範可除代數

在數學中，一個賦範可除代數${\displaystyle A}$是一個在實數域或複數域上的可除代數，它同時還是一個賦範線性空間，這裡範數${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$滿足下面的性質：

賦範

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

${\displaystyle \left\|{xy}\right\|=\left\|x\right\|\left\|y\right\|}$對所有的${\displaystyle x,y\in A}$

儘管定義允許賦範可除代數是無限維的，但事實上並沒有。僅有的實數域上的賦範可除代數（在同構意義下）有

• 實數，記號為R
• 複數，記號為C
• 四元數，記號為H
• 八元數，記號為O

這一結論被稱為胡爾維茲定理。在所有以上情形中，範數由絕對值給出。注意，前三種是結合代數，而八元數是交錯代數（結合性的一種弱形式）。 唯一的複數域上的賦範可除結合代數是複數域自身。 賦範可除代數是合成代數的一種特殊情況。合成代數是具有可乘的二次型的么代數。通常的合成代數不必是可除的，相反，它可能含有零因子。實數域上的合成代數提供了三種額外的代數：分裂複數、分裂四元數和分裂八元數。

參見

• 凱萊-迪克森代數
• 合成代數