自避行走

在數學中，自避行走（簡稱：SAW，Self-Avoiding Walk）是一種格點上的隨機漫步，但是不能多次通過同一點。因此，SAW不是一種馬爾可夫鏈， 但事實上，SAW模型在物理學、化學、生物學中有很多應用。

這是自避行走

這不是自避行走

8x8網格圖上的三個例子

應用

• 溶劑和聚合物
• 蛋白質
• 高分子
• 紐結理論
• 隨機漫步
• 保羅·弗洛里學了化學中的自避行走。^[1]
• 網絡理論^[2]
• Gompertz distribution^[3]
• ER隨機圖
• 有數學家認為自避行走的縮放極限是一個κ = 8/3的Schramm-Loewner演變。^[4]

介紹

自避行走是一個分形。^[5][6] 例如，^[7]

維度d	分形維數
d = 2	4/3
d = 3	5/3
d ≥ 4	2	4是「upper critical dimension」（上面臨界維度）

沒有已知的公式用於計算給予格子的SAW數。^[8][9]

m × n 矩形點陣在只允許選擇減少曼哈頓距離的方向從一角往其對角行走的情況下有

${\displaystyle {m+n \choose m,\ n}}$

個SAW。

普遍性

主要條目：普遍性 (物理學)

設${\displaystyle c_{n}}$是SAW數。這滿足${\displaystyle c_{n}c_{m}\leq c_{n+m}}$因此${\displaystyle \log c_{n}}$是次可加的以及

${\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }c_{n}^{1/n}}$

存在。格點六角形（hexagonal lattice）的${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$。^[4]（斯坦尼斯拉夫·斯米爾諾夫）

某一猜想稱：當${\displaystyle n\to \infty }$的時候

${\displaystyle c_{n}\approx \mu ^{n}n^{11/32}}$

上面的${\displaystyle \mu }$依賴格點，但是11/32這個數是普遍的。

參見

• 臨界現象
• 普遍性 (物理學)
• 隨機走