舒爾不等式

舒爾不等式說明，對於所有的非負實數x、y、z和實數t，都有：

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}$

若且唯若x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。

證明

由於不等式是對稱的，不失一般性，我們不妨設${\displaystyle x\geq y\geq z}$。對t分類討論: ${\displaystyle t\geq 0}$時,

${\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,}$

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。同理，${\displaystyle t<0}$時,

${\displaystyle (y-z)[z^{t}(x-z)-y^{t}(x-y)]+x^{t}(x-y)(x-z)\geq 0\,}$

證畢。

推廣

舒爾不等式有一個推廣：

假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，則以下的不等式成立：

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}$

2007年，羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：

考慮${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$，其中${\displaystyle a\geq b\geq c}$，而且${\displaystyle x\geq y\geq z}$或${\displaystyle z\geq y\geq x}$。設${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$，並設${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$或者是凸函數，或者是單調函數。那麼：

${\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}$

當x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = m^t時，即化為舒爾不等式。^[1]