菲茨休-南雲方程

菲茨休-南雲方程（Fitzhugh-Nagumo equation）是一個非線性偏微分方程，最早由理察·菲茨休（Richard FitzHugh）於1961年提出^[1]，描述了在高於閾值的常電流刺激下神經元動作電位的周期性振盪^[2]。當時菲茨休將其稱為「朋霍費爾-范德波爾模型（Bonhoeffer-van der Pol model）」。次年，南雲仁一等人也提出了一個與該方程等效的電路^[3]。該方程為霍奇金-赫胥黎模型（英語：Hodgkin-Huxley model）的二維情形^[4]；後者因揭示了槍烏賊巨大軸突中動作電位的產生和傳導機制而分享了1963年的諾貝爾生理學或醫學獎。

當刺激電流強度I=0.5時，膜電位對於時間的函數。

藍線為菲茨休-南雲模型在相空間中的軌跡，粉線為三次零斜率線（英語：nullcline），黃線為線性零斜率線。這裡的刺激電流強度被設為0.5。

方程

用於描述槍烏賊巨大軸突中動作電位的菲茨休-南雲方程如下^[4]：

${\displaystyle {\dot {V}}=V-V^{3}/3-W+I}$

${\displaystyle {\dot {W}}=0.08(V+0.7-0.8W)}$

其中，${\displaystyle V}$為膜電位，${\displaystyle W}$為回復變量，${\displaystyle I}$為刺激電流的強度。該方程的一般形式可寫作：

${\displaystyle {\dot {V}}=f(V)-W+I}$

${\displaystyle {\dot {W}}=a(bV-cW)}$

其中${\displaystyle f(V)}$為三次多項式；a，b，c為常數。

行波解

菲茨休-南雲方程行波解的動畫

菲茨休 - 南雲方程的解析解如下：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x^{2}}}-u(1-u)(a-u)}$^[5]

利用Maple軟體包TWSolution可得以下行波解^{[6][注 1]}：

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相關條目

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