非線性偏微分方程式

非線性偏微分方程式是具有非線性項的偏微分方程式。起源於各種應用科學中，如固體力學、流體力學、聲學、非線性光學、電漿體物理學、量子場論等學科。它們描述了許多不同的物理系統，並被用於解決數學問題，如龐加萊猜想和卡拉比猜想。它們很難研究：幾乎沒有通用的技術可以用於所有這樣的方程式，通常每個單獨的方程式都必須作為一個單獨的問題進行研究。通常，線性和非線性偏微分方程式的區別是基於定義偏微分方程式本身的算子的屬性。

函數關係 F(,x_1,X_2..x_n,u,u_x1,u_x2..u_xn,u_x1x2,u_x1x3...)=0 是一個廣義的偏微分方程式，如果 u，v 是此微分方程式的兩個解，而（au+bv) 也是此微分方程式的解，則此偏微分方程式稱為線性偏微分方程式，否則稱為非線性偏微分方程式。^[1]

常見的非線性偏微分方程式

Equation	中文	方程式	圖
BBM	班傑明-小野方程式	:${\displaystyle u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0.\,}$
Belousov-Zhabotinsky	別洛烏索夫-扎伯廷斯基方程式	${\displaystyle u_{t}=d*u_{xx}+u*(1-r*u-u)}$, ${\displaystyle v_{t}=v_{xx}-s*u*v}$
(Benjamin-Ono equation	班傑明-小野方程式	${\displaystyle u_{tt}+\alpha *(u^{2})_{xx}-\beta *u_{xxxx}=0}$
Bogoyavlenski-Konoplechenko	波格雅夫連斯基-科譳普勒琛科方程式	${\displaystyle u_{xt}+\alpha *u_{xxxx}+\beta *u_{xxxy}}$${\displaystyle +6*\alpha *u_{xx}*u_{x}+4*\beta *u_{xy}*u_{x}+\beta *u_{xx}*u_{y}=0}$
Born-Infeld	玻恩-英費爾德方程式	${\displaystyle \displaystyle (1-u_{t}^{2})u_{xx}+2u_{x}u_{t}u_{xt}-(1+u_{x}^{2})u_{tt}=0}$
Boussinesq	博欣內斯克方程式	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u^{2}}{\partial ^{2}y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}=0}$
Boussinesa type	博欣內斯克型方程式	${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}-2*\alpha *(u*u_{x})_{x}-\beta *u_{xxtt}=0}$
Unnormalized Boussinesq	非規範博欣內斯克方程式	${\displaystyle u_{tt}-\alpha *(u*u_{x})_{x}-\beta *u_{xxxx}=0}$
Broer-Kaup	布羅爾-庫普方程組	${\displaystyle u_{y,t}+(2*u*u_{x})_{x}+2*v_{xx}-u_{xxy}=0}$ ${\displaystyle v_{t}+2*(vu)_{x}+v_{xx}=0}$
Burgers	伯格斯方程式	${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+u(x,t)*{\frac {\partial (u(x,t)}{\partial x}}-nu*{\frac {\partial ^{2}(u(x,t)}{\partial x^{2}}}=0}$
Burgers-Fisher	伯格斯-費雪 方程式	:${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u^{2}*{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial u^{2}}}=u*(1-u^{2})}$
Modified Burgers	變形伯格斯方程式	${\displaystyle u_{t}+{\frac {k}{t}}*u+b*u*u_{x}=a*u_{xx}}$
Unnormalized Burgers	非規範伯格斯方程式	${\displaystyle u_{t}-\alpha *u_{xx}-\beta *u*u_{x}=0}$
Generalized Burgers	廣義伯格斯方程式	${\displaystyle }$
Burgers-Huxley	伯格斯-赫胥黎方程式	${\displaystyle u[t]-nu*u[x,x]+a*u*u[x]=b*u*(1-u)*(u-c)}$
Bretherton	布雷瑟頓方程式	${\displaystyle u_{tt}+u_{xx}+u_{xxxx}-\alpha *u^{3}=0}$
Cahn-Hilliard	卡恩-希利亞德方程式
Cassama-Holm	卡馬薩-霍爾姆方程式	:${\displaystyle u_{t}+2\kappa u_{x}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$
Chaffee-Infante	查菲 - 堙方特方程式	${\displaystyle u_{t}-u_{xx}+\lambda *(u^{3}-u)=0}$
Chaplygin	查普里金方程式	${\displaystyle 0.5*u_{tt}+u_{x}*u_{xt}-u_{t}*u_{xx}=0}$
Davey–Stewartson	戴維-斯圖爾森方程組	:${\displaystyle iu_{t}+c_{0}u_{xx}+u_{yy}=c_{1}|u|^{2}u+c_{2}u\phi _{x},\,}$ ${\displaystyle \phi _{xx}+c_{3}\phi _{yy}=(|u|^{2})_{x}.\,}$
Degasperis-Procesi	DP 方程式	${\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$
Drinfeld-Solokov-Wilson	DSW 方程式	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+3*v*{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-2*{\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}*v+2u*{\frac {\partial v}{\partial x}}}$
Dodd-Bullough-Mikhailov	多德-布洛-米哈伊洛夫方程式	[[${\displaystyle u_{xt}+\alpha *e^{u}+\gamma *e^{-2*u}=0}$
Nonlinear Diffusion	非線性擴散方程式	${\displaystyle u_{t}=\alpha *u_{xx}-\beta *u^{3}-\gamma *u^{2}}$
Harry Dym	迪姆方程式	:${\displaystyle u_{t}=u^{3}u_{xxx}.\,}$
Eckhaus	艾克豪斯方程式	${\displaystyle u(x,y,t)_{t}+v(x,t)_{x}+1.0*u(x,y,t)*(u(x,y,t)_{x})=0}$ ${\displaystyle v(x,t)_{xt}+u(x,y,t)_{xx}*v(x,t)+}$${\displaystyle 2*u(x,y,t)_{x}*v(x,t)_{x}+u(x,y,t)*(v(x,t)_{xx}+}$${\displaystyle u(x,y,t)_{xx}+u(x,y,t)_{xxxx}+u(x,y,t)_{yy}=0}$
Eikonal	程函方程式	${\displaystyle sys:=(u(x,t)_{t}))^{2}+(u(x,t)_{x})^{2}-4=0}$
Estevez-Mansfield-Clarkson	埃斯特韋斯-曼斯菲爾德-克拉克森方程式	${\displaystyle u_{tyyy}+\beta *u_{y}*u_{yt}+\beta *u_{yy}*u_{t}+u_{tt}=0}$
Fitzhugh-Nagumo	菲茨休 - 南雲方程式	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D*{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x^{2}}}-u*(1-u)*(a-u)}$
Fisher	費雪方程式	${\displaystyle u_{t}=u_{xx}+a*u*(1-u)}$
Fisher-Kolmogorov	費雪-科摩哥洛夫方程式	::${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\alpha }{k}}*u(1-u^{q})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,}$
Fujita-Storm	藤田-斯托姆方程式	${\displaystyle u_{t}=a*(u^{-2}*u_{x})_{x}}$
Gardner	加德納方程式	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+(2*a*u-3*b*u^{2})*{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0}$
Gibbons-Tsarev	吉本斯-查理夫方程式	${\displaystyle u_{t}*u_{xt}-u_{x}*u_{tt}+u_{xx}+1=0}$
Ginzburg-Landau	金茲堡－朗道方程式	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a*u*{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-b*u+c*|u|^{2}*u=0}$
Hirota Satsuma	廣田-薩摩方程組	:${\displaystyle u_{t}-0.5*u_{xxx}+3uu_{x}-3(vw)_{x}=0}$ ${\displaystyle v_{t}+v_{xxx}-3uv_{x}=0}$ ${\displaystyle w_{t}+w_{xxx}-3uw_{x}=0}$
Hunt-Saxton	亨特 - 薩克斯頓方程式	:${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}={\frac {1}{2}}\,u_{x}^{2}}$
Ito	伊藤方程式	${\displaystyle U_{t}+((6*U^{5}+10*\alpha *(U^{2}*U_{xx}+U*U_{x}^{2})+U_{xxxx})_{x}=0}$
KdV	KdV方程式	:${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0}$
Modified KdV	MKdV方程式	${\displaystyle u_{t}+\alpha *u^{2}*u_{x}+u_{xxx}=0}$
KdV-mKdV	KdV-mKdV方程式	${\displaystyle u_{t}+6*\alpha *u*u_{x}+6*\beta *u^{2}*u_{}+\gamma *U_{xxx}=0}$
KdV-Burgers	KdV-Burgers方程式	${\displaystyle u_{t}+u*u_{x}-\alpha *u_{xx}-\beta *u_{xxx}=0}$
Modified KdV-Burgers	變形KdV-Burgers方程式	${\displaystyle u_{t}+u_{xxx}-\alpha *u^{2}*u_{x}-\beta *u_{xx}=0}$
Fifth order KdV	五階KdV方程式	${\displaystyle u_{t}+\alpha *u^{2}*u_{x}+\beta *u_{x}*u_{xx}+\gamma *u*u_{xxx}+\delta *u_{xxxxx}=0}$
Fifth order dispersion KdV	五階色散KdV方程式	${\displaystyle u_{t}+\alpha *u*u_{x}+\beta *u_{xxx}+u_{xxxxx}=0}$
Seventh order KdV	七階KdV方程式	${\displaystyle U[t]+6*U*U[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha *U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0}$
Nineth order KdV	九階KdV方程式	${\displaystyle U[t]+6*U*U[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha *U[x,x,x,x,x,x,x]+\beta *U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0}$
Unnormalized KdV equation	非規範KdV方程式	${\displaystyle u_{t}+\alpha *u_{xxx}+\beta *u*u_{x}=0}$
Generalized Burgers-KdV	廣義伯格斯-KdV方程式	${\displaystyle U[t]-\alpha *{\frac {\partial ^{n}u(x,t)}{\partial x^{n}}}-\beta *u(x,t)*{\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}=0}$
Unnormalized modified KdV	非規範變形KdV方程式	${\displaystyle u_{t}+u_{xxx}+\alpha *u^{2}*u_{x}=0}$
von Karman	馮·卡門方程式	${\displaystyle \Delta \Delta (u)=a((w_{xy})^{2}-w_{xx}w_{yy})}$ ${\displaystyle \Delta \Delta (w)=b(u_{yy}w_{xx}+u_{xx}w_{yy}-2u_{xy}w_{xy})+c}$