西格爾引理

在數學上，特別是超越數論和丟番圖逼近的研究中，西格爾引理（Siegel's lemma）指的是從輔助函數的構造中得到的線性方程的解的界限。這些多項式的存在性由阿克塞爾·圖厄所證明：^[1]圖厄的證明用到了鴿巢原理，卡爾·路德維希·西格爾在1929年出版此引理。^[2]這是一個線性方程組方面純粹的存在性定理。

近年來，西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。^[3]

陳述

設有一組有${\displaystyle M}$個方程、${\displaystyle N}$個未知數，且${\displaystyle N>M}$的方程組，其中的方程式有著如下的形式：

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

在這些方程組的係數為有理數、不全為零，且以${\displaystyle B}$為界的狀況下，這方程組有如下的解：

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$

其中的${\displaystyle X}$全為有理數、不全為0，且上下界如下：

${\displaystyle (NB)^{M/(N-M)}}$^[4]

Bombieri及Vaaler在1983年對${\displaystyle X}$給出了如下更強的界限（Bombieri & Vaaler (1983)）：

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}}$

其中${\displaystyle D}$是矩陣${\displaystyle A}$的${\displaystyle M\times M}$子式的最大公因數，而${\displaystyle A^{T}}$則是其轉置矩陣。他們的證明涉及了將鴿巢原理以幾何數論的技巧取代的做法。

參見

• 丟番圖逼近