薛福輔理

薛福輔理（Shephard's lemma）是個體經濟學中的一個重要結論，在生產者理論和消費者理論等領域中都有所應用。

具體描述

在消費者理論中，薛福輔理指出，對於給定的效用水準${\displaystyle u}$和給定的各產品價格${\displaystyle \mathbf {p} }$，某種產品${\displaystyle i}$的需求量恰等於支出函數對其價格求偏導的結果：

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$，

其中${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$為產品${\displaystyle i}$的Hicks需求函數（英語：Hicksian demand function），${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$為消費者的支出函數。

證明

通過帶等式約束的包絡定理即可證明：

${\displaystyle {\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}}$，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))}$為拉格朗日乘數，${\displaystyle x_{i}^{h}}$為使支出最小的需求量，也即Hicks需求函數。

參見

• 羅伊恆等式

參考文獻