羅伊恆等式

羅伊恆等式（Roy's identity）是個體經濟學中的一項重要結果，在生產者理論和消費者理論中都有應用。

具體表述

設消費者的間接效用函數為${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$，則商品${\displaystyle i}$的馬歇爾需求函數即為

${\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\partial v/\partial p_{i}}{\partial v/\partial w}}}$，

其中${\displaystyle \mathbf {p} }$為各商品的價格向量，${\displaystyle w}$為所得。^[1]

證明

根據定義，間接效用函數滿足約束條件${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =w}$下的最大值${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)=\max _{\mathbf {x} }u(\mathbf {x} )}$。因此由帶約束的包絡定理立即得到

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {p} }}=-\lambda \mathbf {x} }$，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -w)}$為拉格朗日乘數，由其表達式可得${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}={\frac {\partial v}{\partial w}}}$，代入上式即得證。^[2]

參見

• 薛福輔理