費馬原理

費馬原理（英語：Fermat's principle）最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是極大值、極小值或函數的拐點。 ^[1]最初提出時，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑^[2]。

皮埃爾·德·費馬

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿著所需時間為平穩的路徑傳播。平穩是數學上的微分概念，可以理解為一階導數為零，它可以是極大值、極小值甚至是拐點。

費馬原理是幾何光學的基本定理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三個幾何光學定律：

1. 光線在真空中的直線傳播。
2. 光的反射定律 - 光線在界面上的反射， 入射角必須等於出射角。
3. 光的折射定律（司乃耳定律）。

最短光時線可以有多條，例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B，可以有無數條路徑，所有這些路徑的光線傳播時間都相等。

概述

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。^[1]

• 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
• 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
• 半圓形鏡子：其兩個端點${\displaystyle Q}$、${\displaystyle P}$的反射路徑光程是最大值。
• 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點${\displaystyle Q}$、${\displaystyle P}$的反射路徑的光程是拐值。

光的反射

平面反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光從${\displaystyle P}$點出發射向${\displaystyle x}$點，反射到${\displaystyle Q}$點。

${\displaystyle P}$點到${\displaystyle x}$點的距離 ${\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$

${\displaystyle Q}$點 到${\displaystyle x}$點的距離 ${\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$

從點${\displaystyle P}$到點${\displaystyle Q}$的光程${\displaystyle D}$為

${\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$ 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 ${\displaystyle D}$ 對 ${\displaystyle x}$ 的導數，令其為零：

${\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$${\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0}$ 。

但其中

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

${\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}}$ 。

即

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}$

這就是反射定律

半球面反射

光線從點${\displaystyle Q}$傳播至點${\displaystyle O}$時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點${\displaystyle P}$。

${\displaystyle R=5}$半圓鏡的反射點在圓的頂點，光程最長${\displaystyle =2.82R}$

球面的半徑${\displaystyle =R}$

光線從直徑一端${\displaystyle Q}$射向球面，反射到直徑另一端${\displaystyle P}$

光程${\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}$

因${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$;

所以

${\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}$

根據費馬原理，${\displaystyle D'=0}$

${\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}$

解之， 得 ${\displaystyle x=0}$，代入${\displaystyle D}$得到：

光程${\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R}$，乃是一個最大值${\displaystyle =2.8R}$；（最小值光程是從直徑一端到${\displaystyle Q}$另一端${\displaystyle P}$，光程${\displaystyle =2R}$）

光的折射

光線從介質1的點${\displaystyle Q}$，在點${\displaystyle O}$傳播進入介質2，發生折射，最後抵達介質2的點${\displaystyle P}$。

如右圖所示，設定介質1、介質2的折射率分別為 ${\displaystyle n_{1}}$ 、${\displaystyle n_{2}}$ ，光線從介質1在點${\displaystyle O}$傳播進入介質2，則司乃耳定律以方程式表達為

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{1}}$ 為入射角，${\displaystyle \theta _{2}}$ 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質1與介質2的速度 ${\displaystyle v_{1}}$ 和 ${\displaystyle v_{2}}$ 分別為

${\displaystyle v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}}$ 、

${\displaystyle v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}}$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1}}$ 和 ${\displaystyle n_{2}}$ 都大於 ${\displaystyle 1}$ 。

從點Q到點P的傳播時間 ${\displaystyle T}$ 為

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}$ 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 ${\displaystyle T}$ 對 ${\displaystyle x}$ 的導數，設定其為零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$ 。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$ 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ 。

運動學

主條目：最速降線問題

白努利家族的約翰·白努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。^[3]他將小球運動類比作光線的運動，從而得出最速降線為擺線。

參閱

• 費馬
• 哈密頓原理
• 最小作用量原理
• 路徑積分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理