質量加權坐標

質量加權坐標是描述分子內部運動的一套坐標體系

質量加權坐標的導出

假設一個分子或離子是由N個原子組成的，每一個原子都有自己的一個平衡位置坐標，當各個原子進行分子內部運動時就會偏離各自的平衡位置，則每個原子會產生相互正交的三個方向上的位移： ${\displaystyle \Delta X_{i}}$、${\displaystyle \Delta Y_{i}}$和${\displaystyle \Delta Z_{i}}$

那麼由於這種分子內部運動所引起的動能為：

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\left\{{\frac {1}{2}}m_{i}\left[\left({\frac {dX_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dY_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dZ_{i}}{dt}}\right)^{2}\right]\right\}}$

如果把質量和位移結合併用統一的符號表示三個正交的坐標：

${\displaystyle q_{i}=\left\{{\sqrt {m_{i}}}\Delta X_{i};{\sqrt {m_{i}}}\Delta Y_{i};{\sqrt {m_{i}}}\Delta Z_{i}\right\}}$

這個${\displaystyle q_{i}}$就是質量加權坐標。

質量加權坐標的應用

• 用來表示分子內部運動的動能

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {dq_{i}}{dt}}\right)^{2}}$

• 用來表示分子內部勢能

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}f_{ij}q_{i}q_{j}}$

其中${\displaystyle f_{ij}}$稱為力常數，表達式為：

${\displaystyle f_{ij}={\frac {\partial V}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}$

參見

• 計算化學
• 分子力學
• 簡正坐標