超越方程式

超越方程式（英語：Transcendental equation）是包含超越函數的方程式^[1]，也就是方程式中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數，與超越方程式相對的是代數方程式。超越方程式的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程式求解沒有一般的公式，也很難求得解析解^[2]。

舉例

以下的方程式分別因為有指數函數、三角函數等超越函數，因此均為超越方程式。

${\displaystyle e^{x}x=1}$

${\displaystyle x=\sin {x}}$

在天文學中，有關軌道偏近點角${\displaystyle E}$的克卜勒方程式也是超越方程式：

${\displaystyle M=E-e\sin {E}}$

其中：

• ${\displaystyle M}$為軌道的平近點角。
• ${\displaystyle e}$為軌道的離心率。

求解方法

超越方程式的求解可以利用繪圖法及數值方法求解。若利用繪圖法，可以分別令等式二邊的式子等於另一變數（例如${\displaystyle y}$），然後在二個圖繪製在一起，二個圖的交點即為超越方程式的解。數值方法也是以此想法往下延伸，利用數學公式求得二個圖交點的位置。

若是數值很小，或是已知解在某一數值附近，也可以用泰勒級數的方式來用多項式近似超越函數，因此超越方程式可用代數方程式近似，再針對代數方程式求解。用牛頓法也可以求超越方程式的數值解。

有些特殊的函數可用來表示超越方程式的解。例如複變函數朗伯W函數就可以表示一些超越方程式的解。以下的超越方程式

${\displaystyle xe^{x}=1}$

其解為${\displaystyle W(1)}$，近似值為${\displaystyle 0.56714329\dots }$（歐米加常數）。

參照

• 代數方程式
• 超越函數
• 超越數
• 朗伯W函數