邦別里-維諾格拉多夫定理

在數學上，邦別里-維諾格拉多夫定理（Bombieri-Vinogradov theorem；又稱邦別里定理 (Bombieri's theorem)）是解析數論上的一個主要成果，該成果出於1960年代，與在在一系列模數上取平均值的算術數列中的質數分布相關。

這類結果最早在1961年由馬克·巴爾班（Mark Barban）取得；^[1]，而邦別里—維諾格拉多夫定理則是巴爾班結果的細化。邦別里—維諾格拉多夫定理以恩里科·邦別里^[2]及阿斯科爾德·維諾格拉多夫（英語：Askold Vinogradov）的名字命名，^[3]而這兩人在1965年期間出版一些與此相關的密度猜想方面的文章。

該結果是起自1940年代尤里·林尼克（英語：Yuri Linnik）的研究、並在1960年代前期快速發展的大篩法的一個主要應用。在邦別里之外，克勞斯·羅特也研究大篩法相關的問題；而在在1960年代晚期及1970年代早期，派屈克·X·加拉格爾（英語：Patrick X. Gallagher）簡化了這證明的許多元素跟估計。^[4]

邦別里—維諾格拉多夫定理的陳述

設${\displaystyle x}$與${\displaystyle Q}$為任意兩個有以下關係的正實數：

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.}$

那麼有

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.}$

其中${\displaystyle \varphi (q)}$是歐拉函數，且是對q取模的被加數的數量；此外，

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是馮·曼戈爾特函數。

一個以文字表示的說法是這是一個與對${\displaystyle q}$取模且不大於${\displaystyle Q}$的等差序列上的質數定理的誤差項有關的定理。對於${\displaystyle {\sqrt {x}}}$附近的特定的${\displaystyle Q}$，假若我們忽略對數項，則這平均誤差可小至${\displaystyle {\sqrt {x}}}$。這結果並不顯著，且在沒有平均的狀況下與廣義黎曼猜想差不多強。

參見

• 埃利奧特—哈伯斯塔姆猜想（英語：Elliott–Halberstam conjecture）（邦別里—維諾格拉多夫定理的推廣）
• 維諾格拉多夫定理（英語：Vinogradov's theorem）（以伊萬·維諾格拉多夫為名的定理）