量子馬爾可夫半群

在量子力學中，量子馬爾可夫半群刻畫了具備馬爾可夫性質的開放量子系統（英語：Open quantum system）的動力學演化。量子馬爾可夫半群原型的公理定義最早由 Andrzej Kossakowski（英語：Andrzej Kossakowski） 於1972年提出，隨後由V. Gorini、 Andrzej Kossakowski 、E. C. George Sudarshan（英語：E. C. George Sudarshan） 和 Göran Lindblad（英語：Göran Lindblad (physicist)） 於1976年進一步發展。

動機

理想的量子系統是完全孤立的，因而並不現實。在實踐中，系統會受到與環境耦合的影響，而環境通常具有大量的自由度（例如原子與周圍輻射場相互作用）。對環境自由度的完整微觀描述通常過於複雜。因此，人們尋求對開放系統的演化的更簡單描述。原則上，人們應該研究整個系統（即系統和環境）的么正演化，通過對環境自由度上的適當可觀察量取平均來獲得感興趣的約化系統的信息。為了模擬與環境相互作用而產生的耗散效應，薛丁格方程被一個合適的主方程所取代，例如林德布拉德方程或隨機薛丁格方程，其中環境的無限自由度被「合成」為一些量子噪聲。從數學上講，馬爾可夫開放量子系統的時間演化不再由么正映射的單參數群來描述，而是需要引入量子馬爾可夫半群。

定義

量子動力學半群

一般而言，量子動力學半群可以定義在馮諾依曼代數上，這使得所考察的系統的維數可以是無限的。設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是一個作用於希爾伯特空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的馮諾依曼代數 ， ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的量子動力學半群是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上有界算子的這樣一種集合 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ，其可用一非負實數 ${\displaystyle t\geq 0}$ 參數化從而其成員記作 ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ ，且具有以下性質：^[1]

1. ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a}$
2. ${\displaystyle \forall s,t\geq 0}$, ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$ , ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)}$
3. ${\displaystyle \forall t\geq 0}$ ， ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ 都是一個完全正映射（英語：Complete positive map）
4. ${\displaystyle \forall t\geq 0}$ ，${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ 都是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的超弱拓撲意義上的連續算子
5. ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$ ，映射 ${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的超弱拓撲意義上連續。

值得一提的是，在完全正性質的條件下，算子 ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ 的超弱連續性等價於其正規性（normal）。^[1]注意這裡所說的正規性不同於正規算子，而是定義如下：設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ 表示 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中正元素所構成的凸錐， ${\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 是一個正算子，若對於每個 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ 中遞增且有最小上界 ${\displaystyle x}$ 的網 ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ，性質

${\displaystyle \lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle }$

對 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的一個範數稠密的線性子流形中的任意 ${\displaystyle u}$ 都成立，則稱算子 ${\displaystyle T}$ 是正規的。

量子馬爾可夫半群

若量子動力學半群 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 保單位元（或稱是守恆的、馬爾可夫的），也就是說對於單位元 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}}$ 有

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}\left({\boldsymbol {1}}\right)={\boldsymbol {1}},\quad \forall t\geq 0,}$

1

則稱 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 是一個量子馬爾可夫半群。注意 ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ 的保單位元性和正性（英語：Positive map）蘊含了 ${\displaystyle \forall t\geq 0,\left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1}$ ，從而 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 是一個收縮半群。^[2]

條件 (1) 不僅在證明Hudson – Parthasarathy量子隨機微分方程解的唯一性和么正性方面起著重要作用，而且在從算子理論的角度推導經典馬爾可夫過程路徑的正則性條件方面也起著重要作用^[3] 。

量子動力學半群的無窮小生成元

量子動力學半群 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 的無窮小生成元 是這樣一個算子 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ，其定義在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的使下列極限收斂的子集上，滿足：

${\displaystyle {\mathcal {L}}(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}},}$

上式的極限在超弱拓撲意義上理解。

一致連續量子馬爾可夫半群的生成元的典範形式

若量子馬爾可夫半群 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 還具有一致連續性質（使得 ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}_{t}-{\mathcal {T}}_{0}\right\|=0}$ ）， 於是有

• 無窮小生成元 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 將是馮諾依曼代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的一個有界算子，且其定義域為整個 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ^[4]
• 對於任意 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ，映射 ${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}a}$ 將自動成為連續的 ^[4]
• 無窮小生成元 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 也將是超弱連續的。 ^[5]

在這樣的假設下，無窮小生成元 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 具有下列典範形式^[6]

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum _{j}\left(V_{j}^{\dagger }aV_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V_{j}^{\dagger }V_{j},a\right\}\right),}$

其中： ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$, ${\displaystyle \sum _{j}V_{j}^{\dagger }V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ； ${\displaystyle H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ 是自伴的； ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ 表示對易子，而 ${\displaystyle \left\{\cdot ,\cdot \right\}}$ 是反對易子。

近期發布作品精選

• Chebotarev, A.M; Fagnola, F. Sufficient Conditions for Conservativity of Minimal Quantum Dynamical Semigroups. Journal of Functional Analysis. March 1998, 153 (2): 382–404. S2CID 18823390. arXiv:funct-an/9711006 . doi:10.1006/jfan.1997.3189.
• Fagnola, Franco; Rebolledo, Rolando. Transience and recurrence of quantum Markov semigroups. Probability Theory and Related Fields. 2003-06-01, 126 (2): 289–306. S2CID 123052568. doi:10.1007/s00440-003-0268-0 .
• Rebolledo, R. Decoherence of quantum Markov semigroups. Annales de l'Institut Henri Poincaré B. May 2005, 41 (3): 349–373 [2024-04-06]. doi:10.1016/j.anihpb.2004.12.003. （原始內容存檔於2024-04-06）.
• Umanità, Veronica. Classification and decomposition of Quantum Markov Semigroups. Probability Theory and Related Fields. April 2006, 134 (4): 603–623. S2CID 119409078. doi:10.1007/s00440-005-0450-7 .
• Fagnola, Franco; Umanità, Veronica. Generators of detailed balance quantum markov semigroups. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2007-09-01, 10 (3): 335–363. S2CID 16690012. arXiv:0707.2147 . doi:10.1142/S0219025707002762.
• Carlen, Eric A.; Maas, Jan. Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance. Journal of Functional Analysis. September 2017, 273 (5): 1810–1869. S2CID 119734534. arXiv:1609.01254 . doi:10.1016/j.jfa.2017.05.003.

參見

• 算子拓撲
• 馮諾依曼代數
• C₀半群
• 收縮半群
• 林德布拉德方程
• 馬爾可夫鏈——狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程
• 量子力學——研究微觀世界基本運動規律的物理學科，為當代物理最重要的基礎理論之一
• 開放量子系統