阿貝爾判別法

阿貝爾判別法（Abel test）是一個用於判斷無窮級數是否收斂的方法。阿貝爾判別法有兩種不同的形式，一個是用來判斷實數項級數的收斂，另一個是用來判斷複數項級數的收斂。

實數項級數的阿貝爾判別法

給定兩個實數項數列${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{b_{n}\}}$，如果數列滿足

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收斂

• ${\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,}$是單調且有界的

則級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

收斂。

複數項級數的阿貝爾判別法

一個相關的審斂法，也稱為阿貝爾判別法，通常用來判斷冪級數在收斂圓的邊界上的收斂性。如果

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}$

而級數

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,}$

在|z| < 1是收斂，而在|z| > 1時發散，係數{a_n}是正的實數，當n > m時單調遞減並收斂於零，則f(z)的冪級數在單位圓上處處收斂，除了z = 1以外。當z = 1時，不能使用阿貝爾判別法，所以那個點的收斂性必須另外討論。注意，利用變量代換ζ = z/R，阿貝爾判別法也可以用來判斷收斂半徑R ≠ 1的冪級數的收斂性。^[1]

證明

假設z是單位圓上的一個點，z ≠ 1。則

${\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}$

所以，對於任何兩個正整數p > q > m，我們有

${\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}$

其中S_p和S_q是部分和：

${\displaystyle S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,}$

但是，由於|z| = 1，而當n > m時，a_n是單調遞減的正實數，我們又有

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}\,\end{aligned}}}$

現在我們可以使用柯西判別法來證明f(z)的冪級數在z ≠ 1時收斂，因為sin(½θ) ≠ 0是一個定值，而我們可以通過選擇足夠大的q，來使a_q+1小於任何給定的ε > 0。