霍特林引理

霍特林引理（Hotelling's lemma）是微觀經濟學中的一個推論，可以由包絡定理得到。這個引理非常簡單，其內容為：

設${\displaystyle y(p)}$為廠商的淨供給函數，自變量為商品價格${\displaystyle p}$，則：

${\displaystyle y(p)={\frac {\partial \pi (p)}{\partial p}}}$，

其中${\displaystyle \pi }$是廠商的利潤函數，自變量同樣為價格。這個引理的前提是價格為正且利潤函數可微。

該引理首先由哈羅德·霍特林得到，故而得名。^[1]

證明

設共有${\displaystyle n}$種商品，第${\displaystyle i}$種商品的價格為${\displaystyle p_{i}}$，淨供給為${\displaystyle y_{i}(\mathbf {p} )}$。廠商的利潤函數${\displaystyle \pi (\mathbf {p} )=\max _{\mathbf {y} (\mathbf {p} )}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y} (\mathbf {p} )}$，根據包絡定理

${\displaystyle {\frac {\partial \pi }{\partial \mathbf {p} }}=\left.{\frac {\partial (\mathbf {p} \cdot \mathbf {y} (\mathbf {p} ))}{\partial \mathbf {p} }}\right\vert _{\mathbf {y} (\mathbf {p} )=\mathbf {y} ^{*}(\mathbf {p} )}=\mathbf {y} ^{*}(\mathbf {p} )}$。