非線性σ模型

在量子場論中，非線性σ模型（nonlinear sigma model） 描述一個純量場 ${\displaystyle \sigma (x)\in M}$ 。M是目標流形。${\displaystyle x\in R^{3+1}}$屬於閔考斯基時空。^[1]

定義

若M有黎曼張量 g，拉格朗日量是^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\sigma \partial _{\nu }\sigma -V(\sigma )}$

O(3)非線性σ模型

設${\displaystyle \sigma =n}$。二維的非線性O(3)模型是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

其中 ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$，${\displaystyle n\cdot n=1}$，${\displaystyle x\in R^{2},\ \mu =1,2}$。

n是 S²→ S² 的函數。第三個同倫群

${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$

可以將這些函數分類。上文理論的經典解是O(3) 瞬子。

參見

• WZW模型
• 富比尼–施圖度量
• 里奇流
• 泊里雅科夫作用量
• 大N展開