黎曼曲面

數學上，特別是在複分析中，一個黎曼曲面是一個一維複流形。黎曼曲面可以被視為是一個複平面的變形版本：在每一點局部看來，他們就像一片複平面，但整體的拓撲可能極為不同。例如，他們可以看起來像球或是環，或者兩個頁面粘在一起。

函數${\displaystyle f(z)={\sqrt[{}]{z}}}$的黎曼曲面

黎曼曲面的精髓在於在曲面之間可以定義全純函數。黎曼曲面現在被認為是研究這些函數的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數。

每個黎曼曲面都是二維實解析流形（也就是曲面），但它有更多的結構（特別是一個複結構），因為全純函數的無歧義的定義需要用到這些結構。一個實二維流形可以變成為一個黎曼曲面（通常有幾種不同的方式）若且唯若它是可定向的。所以球和環有複結構，但是莫比烏斯帶，克萊因瓶和射影平面沒有。

黎曼曲面的幾何性質是最妙的，它們也給與其它曲線，流形或簇上的推廣提供了直觀的理解和動力。黎曼-羅赫定理就是這種影響的最佳例子。

形式化定義

令 ${\displaystyle X}$ 為一個豪斯多夫空間。一個從開子集 ${\displaystyle U\subset C}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {X} }$ 的子集的同胚稱為坐標卡。兩個有重疊區域的坐標卡 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 稱為相容的，如果映射 ${\displaystyle f\circ g^{-1}}$和 ${\displaystyle g\circ f^{-1}}$ 是在定義域上全純的。若 ${\displaystyle A}$ 一組相容的圖，並且每個 ${\displaystyle X}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 都在某個 ${\displaystyle f}$ 的定義域中，則稱 ${\displaystyle A}$ 為一個圖冊。當我們賦予 ${\displaystyle X}$ 一個圖冊 ${\displaystyle A}$，我們稱 ${\displaystyle (X,A)}$ 為一個黎曼曲面。如果知道有圖冊，我們簡稱 ${\displaystyle X}$ 為黎曼曲面。

不同的圖冊可以在 ${\displaystyle X}$ 上給出本質上相同的黎曼曲面結構；為避免這種模糊性，我們有時候要求 ${\displaystyle X}$ 為極大的，也就是它不是任何一個更大的圖集的子集。根據佐恩引理每個圖集${\displaystyle A}$ 包含於一個唯一的最大圖集中。

例子

• 複平面 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 可能是最平凡的黎曼曲面了。映射 ${\displaystyle f(z)=z}$（恆等映射）定義了 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一個圖，而 ${\displaystyle \{f\}}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一個圖集。映射 ${\displaystyle g(z)=z^{*}}$（共軛）映射也定義了 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一個圖而 ${\displaystyle \{g\}}$ 也是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的一個圖集。圖 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 不相容，所以他們各自給了 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 一個黎曼曲面結構。事實上，給定黎曼曲面 ${\displaystyle X}$ 及其圖集 ${\displaystyle A}$，共軛圖集 ${\displaystyle B=\{f^{*}:f\in A\}}$ 總是不和 ${\displaystyle A}$ 相容，因此賦予 ${\displaystyle X}$ 一個不同的黎曼曲面結構。

• 類似的，每個複平面的開子集可以自然的視為黎曼曲面。更一般的，每個黎曼曲面的開子集是一個黎曼曲面。

• 令 ${\displaystyle S=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ 並令 ${\displaystyle f(z)=z}$ 其中 ${\displaystyle z}$ 屬於 ${\displaystyle S\backslash \{\infty \}}$並且令 ${\displaystyle g(z)=1/z}$ 其中 ${\displaystyle z}$ 屬於 ${\displaystyle S\backslash \{0\}}$ 以及定義 ${\displaystyle 1/\infty }$ 為0。則 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 為圖，它們相容，而 ${\displaystyle \{f,g\}}$ 是 ${\displaystyle S}$ 圖集，使 ${\displaystyle S}$ 成為黎曼曲面。這個特殊的曲面稱為黎曼球因為它可以解釋為把複平面裹在一個球上。不像複平面，它是一個緊空間。

• 緊黎曼曲面可以視為和定義在複數上的非奇異代數曲線等效。非緊黎曼曲面的重要例子由解析連續給出（見下面）

屬性和更多的定義

兩個黎曼曲面 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$ 之間的函數 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ 稱為全純，如果對於 ${\displaystyle M}$ 的圖集中的每個圖 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle N}$ 的圖集中的每個圖 ${\displaystyle h}$，映射${\displaystyle h\circ f\circ g^{-1}}$在所有有定義的地方是全純的（作為從 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 到 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的函數）。兩個全純函數的複合是全純的。兩個黎曼曲面 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$ 稱為保角等價（或共形等價），如果存在一個雙射的從 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的全純函數並且其逆也是全純的（最後一個條件是自動滿足的所以可以略去）。兩個保角等價的黎曼曲面對於所有的實際應用來講是完全相同的。

每個單連通的黎曼曲面和 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 或黎曼球 ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$或開圓盤 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ 保角等價。這個命題稱為單值化定理。

每個連通黎曼曲面可以轉成有常數曲率-1，0或1的完備實黎曼流形。這個黎曼結構除了度量的縮放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面稱為雙曲的;開圓盤是個經典的例子。有曲率0的黎曼曲面稱為拋物的；${\displaystyle \mathbb {C} }$ 是典型的拋物黎曼曲面。最後，有曲率+1的黎曼曲面稱為橢圓的；黎曼球 ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ 是這樣的一個例子。

對於每個閉拋物黎曼曲面，基本群同構於2階格群，因而曲面可以構造為${\displaystyle \mathbb {C} /\Gamma }$，其中 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 是複平面而 ${\displaystyle \Gamma }$ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

類似的，對每個雙曲黎曼曲面，基本群同構於富克斯群，因而曲面可以由富克斯模型 ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ 構造，其中 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 是上半平面而 ${\displaystyle \Gamma }$ 是富克斯群。${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ 陪集的代表是自由正則集，可以作為度量基本多邊形。

當一個雙曲曲面是緊的，則曲面的總面積是 ${\displaystyle 4\pi (g-1)}$，其中 ${\displaystyle g}$ 是曲面的虧格；面積可由把高斯-博內定理應用到基本多邊形的面積上來算出。

前面我們提到黎曼曲面，象所有複流形，象實流形一樣可定向。因為複圖 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 有變換函數 ${\displaystyle h=f(g^{-1}(z))}$，我們可以認為 ${\displaystyle h}$ 是從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 開集到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的映射，在點 ${\displaystyle z}$ 的雅可比矩陣也就是由乘以複數 ${\displaystyle h'(z)}$ 的運算給出的實線性變換。但是，乘以複數 ${\displaystyle \alpha }$ 的行列式等於${\displaystyle |\alpha |^{2}}$，所以 ${\displaystyle h}$ 的雅可比陣有正的行列式值。所以，複圖集是可定向圖集。

歷史

黎曼最早開始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

相關主題

• 代數幾何
• 共形幾何
• 黎曼曲率張量
• 黎曼球面
• 凱勒流形
• 泰希米勒空間
• 兒童畫（Dessin d'enfant）
• 和黎曼曲面有關的定理
  • 黎曼-羅赫定理
  • 黎曼-赫爾維茨公式
  • 黎曼映射定理
  • 單值化定理
  • 赫爾維茨自同構定理

參考

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
• Riemann Surface（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Planet Math