2的主平方根

2的主平方根，俗稱「根號2」，記作${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，可能是最早被發現的無理數。相傳畢達哥拉斯學派的希帕索斯首先提出了「${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不是有理數」的命題：若一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那麼它的斜邊長，無法用整數或分數表示。

2的平方根

2的平方根
數表—無理數 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
2的平方根等於一個直角邊都是1的等腰直角三角形的斜邊長
命名
名稱	2的算術平方根 2的主平方根 根號2
識別
種類	無理數
符號	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
性質
連分數	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{2}-2=0}$
表示方式
值	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx }$1.414213562...
二進制	1.011010100000100111100110…
十進制	1.414213562373095048801688…
十六進制	1.6A09E667F3BCC908B2FB1366…

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… （OEIS數列A002193）

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數的證明

人們發現了許多方法證明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數。以下是反證法的證明

常見的證明

1. 假設${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理數，即有整數${\displaystyle a_{0}}$、${\displaystyle b_{0}}$，使得${\displaystyle {\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\sqrt {2}}}$
2. 將${\displaystyle {\sqrt {2}}}$重寫成最簡分數${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$，即${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$互質，且${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)^{2}=2}$
3. 所以${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$，即${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$
4. 因為${\displaystyle 2b^{2}}$必為偶數，故${\displaystyle a^{2}}$亦是偶數
5. 故${\displaystyle a}$為偶數（奇數的平方不會是偶數）
6. 所以必有一整數${\displaystyle k}$，使得${\displaystyle a=2k}$
7. 將（3）的式子代入（6）：${\displaystyle 2b^{2}=\left(2k\right)^{2}}$
8. 化簡得${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. 因為${\displaystyle 2k^{2}}$是偶數，所以${\displaystyle b^{2}}$是偶數，${\displaystyle b}$亦是偶數
10. 所以${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$都是偶數，跟${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$是最簡分數的假設矛盾
11. 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不是有理數，即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數${\displaystyle n}$，其主平方根${\displaystyle {\sqrt {n}}}$為無理數。

另一個證明

另外一個${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：

1. 假設${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理數，便可以表示成最簡分數${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$，其中${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$為正整數
2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{2-1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}}$
3. 由於${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}$，所以${\displaystyle {\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {2-{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-1}}={\frac {2n-m}{m-n}}}$
4. 因為${\displaystyle {\frac {m-n}{n}}={\sqrt {2}}-1}$
5. ${\displaystyle 2>{\sqrt {2}}\Rightarrow 1+1>{\sqrt {2}}\Rightarrow {\sqrt {2}}-1<1}$
6. 所以${\displaystyle m-n<n}$
7. 故${\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}}$是比${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$更簡的分數，與${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為${\displaystyle n}$，斜邊為${\displaystyle m}$的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為${\displaystyle m-n}$，斜邊為${\displaystyle 2n-m}$的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性質

2的主平方根可以表示為以下的級數或無窮乘積：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

2的主平方根的連分數展開式為：

${\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

^[註1]

註釋

註:
1. 令${\displaystyle \!\ x=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}$， 由觀察可知${\displaystyle x=2+{\frac {1}{x}}}$，即${\displaystyle x^{2}-2x-1=0}$， 解方程式，取正根，得${\displaystyle x=1+{\sqrt {2}}}$， 因此${\displaystyle {\sqrt {2}}=x-1=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}$。

參見

• 3的主平方根
• 5的主平方根
• 平方根
• 無理數

外部連結

• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華^{[永久失效連結]}（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）