Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義

設 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 ${\displaystyle R}$ 上的左模範疇 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$。固定一對象 ${\displaystyle A}$，定義函子 ${\displaystyle T_{A}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)}$，此為左正合函子，故存在右導函子 ${\displaystyle R^{\bullet }T_{A}(-)}$，記為 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)}$。當 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod} }$ 時，常記之為 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,-)}$。

根據定義，取 ${\displaystyle B}$ 的內射分解

${\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0}$

並取 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)}$，得到

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0}$

去掉首項 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$，最後取上同調群，便得到 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$。

另一方面，若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中也有充足射影元（例如 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$），則可考慮右正合函子 ${\displaystyle G_{B}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)}$ 及其左導函子 ${\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(-)}$，可證明存在自然同構 ${\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(A)=\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$。換言之，對 ${\displaystyle A}$ 取射影分解：

${\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

並取 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)}$，得到

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0}$

去掉尾項 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$，其同調群同構於 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)}$。

基本性質

• 若 ${\displaystyle A}$ 是射影對象或 ${\displaystyle B}$ 是內射對象，則對所有 ${\displaystyle i>0}$ 有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0}$。
• 反之，若 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0}$，則 ${\displaystyle A}$ 是射影對象。若 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0}$，則 ${\displaystyle B}$ 是內射對象。
• ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)}$
• ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})}$
• 根據導函子性質，對每個短正合序列 ${\displaystyle 0\to B'\to B\to B''\to 0}$，有長正合序列：

${\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots }$

• 承上，若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 ${\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}$，有長正合序列

${\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots }$

譜序列

今設 ${\displaystyle A,B}$ 為含單位元的環，並固定一環同態 ${\displaystyle A\to B}$。則由雙函子的自然同構

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)}$

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 ${\displaystyle B}$-模 ${\displaystyle M}$ 及 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有譜序列

${\displaystyle E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)}$

這個關係稱為換底。

Ext函子與擴張

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$，在擴張

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}$

的等價類與 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)}$ 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}$ 與

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0}$

可以構造其 Baer 和 為 ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\times _{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0}$，其中 ${\displaystyle \Delta :=(1,-1)(C\sqcup _{B}C')}$（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)}$。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$ 與

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$

此時的 Baer 和定為

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$

其中 ${\displaystyle A:=X_{1}\times _{A}X_{1}'/\Delta _{1}}$（反對角線 ${\displaystyle \Delta _{1}}$ 之定義同上），${\displaystyle Y_{n}:=X_{n}\sqcup _{B}X_{n}'}$。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)}$。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子

• 設 ${\displaystyle G}$ 為群，取環 ${\displaystyle R:=\mathbb {Z} G}$，可以得到群上同調：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)}$。
• 設 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為局部賦環空間 ${\displaystyle X}$ 上的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-模範疇，可以得到層上同調：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})}$。
• 設 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 為李代數，取環 ${\displaystyle R:=U({\mathfrak {g}})}$ 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)}$。
• 設 ${\displaystyle k}$ 為域，${\displaystyle A}$ 為 ${\displaystyle k}$-代數，取環 ${\displaystyle R:=A\times A^{\mathrm {op} }}$，${\displaystyle A}$ 帶有自然的 ${\displaystyle R}$-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)}$。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1