K函數

K函數是hyper階乘函數在複數上的擴展，如同Γ函數是階乘函數在複數上的擴展。 K函數的定義為：

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z-1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}$

還可以寫成閉合形式：

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right].}$

其中，${\displaystyle \zeta ^{\prime }(z)}$表示黎曼ζ函數的導函數，而${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)}$則表示赫爾維茨ζ函數的導函數，即

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}$

另一種使用多伽瑪函數的表示形式是：^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right).}$

或者使用廣義多伽瑪函數表示為：^[2]

${\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}.}$

其中A表示格萊舍常數（Glaisher constant）。

K函數與Γ函數和巴尼斯G函數關係密切。對於自然數n，我們有：

${\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}$

還可以更簡單地寫為：

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}$

前幾項為：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的第A002109號數列).

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