K類函數

${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類函數（Class kappa function）也稱為是在控制理論中判斷非自治系統（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類函數比較，以確認系統的穩定性。

連續函數${\displaystyle \alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )}$若滿足以下條件，則屬於${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類函數：

• 函數嚴格遞增。
• 函數滿足${\displaystyle \alpha (0)=0}$。

連續函數${\displaystyle \alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )}$若滿足以下條件，則屬於${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$類函數：

• 函數屬於${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類函數。
• 函數的定義域範圍可以到無限大，${\displaystyle a=\infty }$.
• 函數滿足${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty }$.

若一非遞減的正定函數${\displaystyle \beta }$滿足所有${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類（或${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類（或${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$類）函數來表示：

${\displaystyle \beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,}$

K L {\displaystyle {\mathcal {KL}}} 類函數

連續函數${\displaystyle \beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$若滿足以下條件，則屬於${\displaystyle {\mathcal {KL}}}$類函數：

• 對於每一個固定的${\displaystyle s}$，函數${\displaystyle \beta (r,s)}$屬於${\displaystyle {\mathcal {K}}}$類函數
• 對於每一個固定的${\displaystyle r}$，函數${\displaystyle \beta (r,s)}$會隨著${\displaystyle s}$遞減，而且當${\displaystyle s\rightarrow \infty }$時，${\displaystyle \beta (r,s)\rightarrow 0}$。

參考資料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.