Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是系統分析及控制理論的結果，其中提到：給定一數${\displaystyle \gamma >0}$，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若${\displaystyle (A,B)}$具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q

${\displaystyle A^{T}P+PA=-QQ^{T}}$

${\displaystyle PB-C={\sqrt {\gamma }}Q}$

存在的充份必要條件是

${\displaystyle \gamma +2Re[C^{T}(j\omega I-A)^{-1}B]\geq 0}$

而且，集合${\displaystyle \{x:x^{T}Px=0\}}$是${\displaystyle (C,A)}$的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的線性矩陣不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich（英語：Vladimir Andreevich Yakubovich）寫出且證明^[1]，當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由魯道夫·卡爾曼在1963年提出^[2]。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的^[3]，而Vasile M. Popov（英語：Vasile Mihai Popov）也獨立得到相同結論^[4]。在^[5]中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理

給定${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}}$，其中 ${\displaystyle \det(j\omega I-A)\neq 0}$針對所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle (A,B)}$有可控制性，則以下的敘述是等價的：

1. 針對所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0}$

2. 存在一矩陣${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$使得${\displaystyle P=P^{T}}$且

   ${\displaystyle M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.}$

即使${\displaystyle (A,B)}$不具有可控制性，對應上式的嚴格不等式仍成立^[6]。