Kansa方法

20世紀90年代，E. J. Kansa將用於散亂數據處理和函數近似的徑向基函數用於處理偏微分方程，並提出一種強格式的配點方法。Kansa所提出的徑向基函數配點方法是真正的無網格方法，具有易於編程、數學形式簡單、方便掌握等優點。該方法提出後不久，被學術界稱之為Kansa方法(Kansa method)。

由於徑向基函數是採用無需考慮維數的一維歐幾里德距離作為變量，Kansa方法適用於高維的和形狀複雜的問題。Kansa方法是一種區域型方法，不僅在邊界離散使其滿足邊界條件，同時內部配點需要滿足控制方程。

此外，還有一類以徑向基函數為核函數的邊界型徑向基函數配點方法（Boundary-type RBF collocation method），如基本解法（英語：Method of fundamental solution）、邊界節點法、奇異邊界法、邊界粒子法、和正則化無網格法（Regularized meshless method）等。這類方法選取的基函數（也被稱為核函數），通常選取控制方程的基本解或通解，因而滿足控制方程。因此只需要在邊界離散滿足邊界條件即可。

Kansa方法選取的徑向基函數不需要滿足控制方程，因此選取基函數有更大的自由空間。多元二次曲面(Multiquadric, MQ)函數是Kansa方法最常用的徑向基函數，如果選擇了恰當的形參數可以獲得譜收斂的精度。

概況

Kansa方法，也稱為改進MQ方法或MQ配點法，源於著名的MQ插值。該方法的有效性和高效性已經得到了許多問題的驗證。此外，由於部分問題的基本解和通解不存在，如變係數問題和非線性問題，Kansa方法比邊界型徑向基函數配點方法擁有更加廣闊的應用範疇。

算法介紹

在d維物理區域 內考慮以下邊值問題，

${\displaystyle Lu(X)}$ =${\displaystyle f(X)}$ ,${\displaystyle X\in \Omega ,}$ (1)

${\displaystyle u(X)}$ =${\displaystyle g(X)}$ ,${\displaystyle X\in \partial \Omega _{D},}$(2)

${\displaystyle {\frac {\partial u(X)}{\partial n}}}$=${\displaystyle h(X)}$ , ${\displaystyle X\in \partial \Omega _{N},}$ (3)

其中L代表微分算子，d為問題的維數，${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ , ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$分別代表狄利克雷邊界和諾伊曼邊界且${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$。 Kansa方法通過徑向基函數的線性組合來逼近待求的函數，即：

${\displaystyle {{u(X)}^{*}}}$=${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$, (4)

其中${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$為待求參數，${\displaystyle \phi \left(r_{i}\right)}$代表徑向基函數，如MQ函數。 為確保所求函數的唯一性，在上式右端添加一組多項式：

${\displaystyle {{u(X)}^{*}}}$=${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$+${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{M}\alpha _{k+N}\gamma _{k}\left(X\right)}$, (5)

其中 ${\displaystyle {{\gamma }_{k}}(X)}$ 為多項式。徑向基插值形式(4)和(5)都經常應用在計算中。(4)式的形式簡單易於掌握且在大多數情況下都能獲取較好的計算結果，因此在工程領域使用廣泛；(5)式的形式嚴謹且理論基礎堅實，所以數學工作者偏於採用後者。 將(4)式或(5)式代入方程組(1)-(3)可得以下線性方程組：

${\displaystyle A\alpha =b}$, (6)

其中，

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}L({\phi })&L({\gamma })\\{\phi }&{\gamma }\\{\frac {\partial {\phi }}{\partial n}}&{\frac {\partial {\gamma }}{\partial n}}\\{\gamma }&0\\\end{matrix}}\right)}$, ${\displaystyle \mathbf {b} =\left({\begin{matrix}f\\g\\h\\0\\\end{matrix}}\right)}$,${\displaystyle {\phi }}$=${\displaystyle \phi \left(x_{i},x_{j}\right)}$,${\displaystyle {\gamma }}$=${\displaystyle \gamma _{k}\left(X_{i}\right)}$. (7)

通過求解以上線性方程組，可求解待定參數${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$，根據(4)式或(5)式即可得到待求函數。

歷史和最近發展

偏微分方程的數值求解通常採用有限差分法，有限單元法或邊界單元法。有限差分法通常需要規則的網格系統，難以處理不規則區域問題。比之有限差分法，有限單元法能適於處理更複雜的形狀，但網格的劃分及其再劃分在計算時依舊不可避免。邊界單元法在處理一些工程問題效果顯著，比如反問題、無限域問題和薄壁結構問題。然而，邊界單元法受限於控制方程的基本解難以確定，使其應用範疇受到約束。

近來幾十年，由於標準有限單元法和邊界單元法在處理高維、移動邊界和複雜邊界等問題需要耗費龐大的計算成本，無網格或無單元方法受到極多關注。Kansa方法^[1][2]是一種真正的無網格方法，不需要劃分網格和單元而是通過徑向基函數（如MQ函數）在配置的節點處滿足相關條件即可。

雖然經過諸多學者的研究，但依舊缺乏對Kansa方法嚴謹的數學證明^[3]。另外，混合邊界會破壞插值矩陣的對稱性。文獻^[4][5]提及的對稱埃爾米特徑向基函數插值方案(Hermite RBF collocation scheme)其可解性具有可靠的數值分析。其中，Kansa方法和對稱埃爾米特方法都存在一個共同的問題，即相鄰邊界節點的數值解精度比內部節點低1-2個數量級。邊界偏微分方程配點(The PDE collocation on the boundary, PDECB))方案可以消除這一缺陷。然而，這一方案缺乏數學上的理論支持且需要在邊界附近的區域內或區域外設置一系列節點，因此在處理複雜區域或多連通問題時非常複雜。隨後提出的一種相似處理方式^[6]，在相同的邊界節點同時滿足控制方程和邊界條件，而其缺陷在於產生的插值矩陣是不對稱的且方法本身同樣缺乏明確的理論基礎。通過使用第二格林公式，改進的Kansa方法^[7][8]可以彌補以上缺陷。

對於MQ函數，其插值誤差取決於自身的形狀參數，如何選取恰當的形狀參數和關於MQ徑向基函數的一些數學理論可以參見以下文獻 ^{[9][10][11][12]}。

Kansa方法廣泛應用於計算科學。^[1]中Kansa方法用於求解橢圓型、雙曲型和拋物型三類偏微分方程。Kansa近來也應用於求解各類常微分和偏微分方程，包括兩相和三相混合模型的組織工程問題^[13][14]，衝擊波下的一維非線性Burger方程^[15]，潮汐和海流模擬中的淺水方程 ^[16]，熱傳導方程^[17]，自由邊界問題^[18]，分數階擴散方程^[19]。

其他

• 徑向基函數
• 基本解法（英語：Method of fundamental solution）
• 邊界節點法
• 邊界粒子法
• 奇異邊界法

相關網站

• Modified Kansa method