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盧曼-緬紹夫定理

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盧曼-緬紹夫定理(英語:Looman–Menchoff theorem)是複分析中的一條定理,可用於判斷複函數的解析性。該定理指出,定義在複數平面上某個區域內的連續函數解析函數,若且唯若其視作的映射時,四個偏導數處處存在且滿足柯西-黎曼方程式。該定理由盧曼於1923年提出,於1931年由緬紹夫給出完整證明。雖然定理涉及初等數學領域,但其證明需運用現代實變函數理論。[1][2]

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背景

定義在複數平面內的區域上的複解析函數在整個定義域內滿足柯西-黎曼方程式:[1][2]

上述命題的部分逆命題亦成立,例如:額外假定作為實函數在區域內處處可微,或是假定的偏導數處處連續,同時滿足柯西-黎曼方程式,均可推出是區域內的解析函數;其中前一個命題由愛徳華·古爾薩英語Édouard Goursat在1900年證明,又被稱為古爾薩定理。[3]實際上,這些附加條件存在放寬的餘地。[1]20世紀初,人們對放寬函數解析性的判定條件這一問題開展了大量的研究。1905年,迪米特里耶·蓬佩尤英語Dimitrie Pompeiu指出,古爾薩定理的附加條件可以放寬到「函數在區域內幾乎處處可微」。之後,盧曼和迪米特里·緬紹夫英語Dmitrii Menshov在這一領域做出了重要的貢獻。[2][3]

盧曼注意到,僅僅假定偏導數在區域內處處存在,且滿足柯西-黎曼方程式,並不足以保證函數在區域上的解析性——甚至不能保證函數在其上的連續性:如下定義的複變函數,在複數平面上處處可求偏導,且偏導數滿足柯西-黎曼方程式,但它在原點處並不解析:[1]

1923年,盧曼斷言只要附加函數在區域上連續的條件,就可以推出函數的解析性,從而強化了古爾薩定理。然而,盧曼當時的證明中存在一個漏洞。緬紹夫於1931年發表的證明則彌補了這一漏洞,他的證明用到了勒貝格積分貝爾綱定理。1933年,數學家斯坦尼斯拉夫·薩克斯英語Stanislaw Saks回顧了這一證明,並將其命名為「盧曼-緬紹夫定理」。[3][4]薩克斯對該證明評價甚高:「毫無疑問,它是現代實變函數理論在初等數學領域最優美和令人意外的應用之一」。[1]

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定理的陳述和證明

為複數平面上的開集,為定義在上的連續複變函數。若偏導數上處處存在且處處滿足柯西-黎曼方程式,則上的解析函數。

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引理

為證明盧曼-緬紹夫定理,需要先證明如下引理:[1][4][5]

上的正方形,的映射,且在內處處可求偏導。若存在的某個非空閉集和正數,使得:

為包含的最小矩形,則有:

其中代表集合的測度。為證明該引理,可以先考慮一維的情形。這時,為實數軸上的區間,而為其內一個閉集。可以在上定義一個輔助函數,它在內取,在內取分段線性函數,並保持邊界處連續。可以證明,該輔助函數在整個利普希茨連續,因此絕對連續,幾乎處處可導,且導函數可積。而的孤立點集至多可數,在非孤立點集上,輔助函數和的導數又幾乎處處相等。故而:

回到引理,由於是包含閉集的最小矩形,在區間上必然存在點,使得。對上的任何一點,都有:

其中的邊長。記中所有點縱坐標的集合為中的補集為。則上的積分滿足:

另一方面,,可以證明是閉集。因此,對連接的線段使用上述一維情形的結論,可知:

將上式在上積分,並將重積分化作累次積分,可得:

注意到下式即可證明引理:

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證明概要

不解析的點的集合。利用反證法:假設非空,只需證明存在的一個子集,使得在其上解析,即可推出矛盾,進而說明原命題成立。

利用解析性和圍道積分的關係可以證明是一個閉集。定義的具備如下性質的子集:

的連續性和處處可求偏導的性質分別可以推出是閉集,且。因此,由貝爾綱定理,必然至少存在一個中開集,使得

中任意一個邊長小於,且交非空的正方形。可證作為的映射,均滿足引理要求的一切條件。因此,在包含的最小矩形上:

注意到滿足柯西-黎曼方程式,可以得到對邊界上積分的虛部估計式:

顯然該積分的實部也滿足類似的估計式。因此:

依定義,內解析,因此可將上式中的積分圍道由的邊界擴大為的邊界:

是任意一串收斂到的正方形序列。若,當充分大時,所有的邊長都小於,因此:

勒貝格密度定理英語Lebesgue's density theorem,第二式右側的極限作為的函數幾乎處處為1,因此左側的下極限幾乎處處為零。

,當充分大時,在所有內解析,因此:

將圍道積分視為集合函數,上述極限以及圍道積分的連續性和可加性保證了圍道積分幾乎處處可導,且圍道積分的值由導函數在集合上的積分給出。又因上述下極限在上幾乎處處為零,該導數在上也幾乎處處為零。這意味著內的圍道積分恆為零,即乃至的子集內解析。矛盾。[1][4][5][6]

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參考文獻

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