空間 (數學)
具有一些附加结构的数学集合 / 維基百科,自由的 encyclopedia
數學上,空間是指一種具有特殊性質及一些額外結構的集合(有時稱為全集)。在初等數學或中學數學中,空間通常指三維空間。 現代數學使用了多種類型的空間,如歐幾里得空間、線性空間、拓撲空間、希爾伯特空間或機率空間,但並不存在單稱為「空間」的數學物件。[1][a]
空間由被視為點的數學物件和點之間的關係組成。 點的性質可以千差萬別:例如,點可以是集合的元素,另一個空間上的函數,也可以是另一個空間的子空間。點之間的關係決定了空間的性質,更確切地說一般認為同構空間完全相同,空間之間的同構是點之間的一一對應關係。例如,歐幾里得公理唯一確定了三維歐幾里得空間各點之間的關係,[b]所以所有三維歐幾里得空間都是相同的。
數學物件應被視為幾何「空間」還是代數「結構」,並不總是很清楚。尼古拉·布林巴基[2]提出了結構的一般定義,包括了所有常見的空間類型,提供了同構的一般證明方法,並證明了同構結構之間的性質轉移是合理的。