潛在類別模型

潛在類別模型cim4 zoi6 leoi6 bit6 mou4 jing4（英文：latent class model，LCA）係混合物模型一種（亦可以算係結構方程模型一種），能夠做到^[1][2]：

「

將數據入面啲個案分做若干組，每組內部差異細，但分析前唔知每個個案『屬邊一組』，

」

屬於一種探索性質嘅統計方法。

LCA 呢個基本諗頭同聚類分析（cluster analysis）好似。LCA 同聚類分析嘅分別係，LCA 唔係建基於對相似度嘅考慮，而且 output 係出「呢個呢個個案，屬呢組（每組係個潛在類別；latent class）嘅機率係咁多咁多」－唔似得聚類分析噉，會同每個個案有個明確嘅「佢屬邊個聚類」宣稱^{[註 1]}；而且同多數聚類分析做法唔同嘅係，LCA 係建基於模型嘅，會建立統計模型，再衡量個模型有幾能夠解釋手上啲數據^[3]。

篇文以下嘅內容，假設讀者已經識嗮基本嘅概率論同統計學。

基礎

睇埋：混合物模型同結構方程模型

基本諗頭

睇埋：聚類分析同潛在變數模型

用日常用語講，LCA 做嘅係^{[4]:p. 2}

「

LCA 係一種統計方法，用嚟靠一個集嘅指標（indicator）搵出一個總體入面唔能夠直接觀察嘅子群體。

」

一場 LCA 會做到以下嘅嘢^[5]：

• Input：攞一拃個案，每個個案都係拃睇得到嘅變數上有值；
• Output：將拃個案分做若干個子群體，當中「屬邊個子群體」係個數值睇唔到嘅離散變數，每個子群體內部差異細。

數學基礎

睇埋：局部獨立同最大似然估計

數學性啲噉諗，LCA 個諗頭可以噉形容：想像家陣^{[4]:Q1 - Q2 [6]:Ch. 6}

• 有 ${\displaystyle n}$ 個個案，每個個案有 ${\displaystyle M}$ 咁多個特性 ${\displaystyle u_{1},u_{2},...u_{M}}$（指標），當中啲指標係離散變數^{[註 2]}；如果啲指標係連續變數，噉場分析就係潛在輪廓模型（latent profile model）^[3]；
• 啲個案背後有個離散變數 ${\displaystyle c}$ 表示佢「屬於邊個子群體」（潛在類別；${\displaystyle c_{i}=}$ 第 ${\displaystyle i}$ 個個案嘅 ${\displaystyle c}$ 值），${\displaystyle c}$ 係睇唔到嘅（潛在變數）並且有 ${\displaystyle K}$ 咁多個可能值，
• LCA 個模型最基本有兩個重要參數－
  • 每個潛在子群體嘅大細（用 ${\displaystyle \pi _{k}}$ 表示），由「隨機揀個個案，個個案屬嗰個群體嘅機率」反映，即係是但攞個個案嚟睇，${\displaystyle {\text{P}}(c=k)}$ 嘅數值；
  • 子群體之間互斥，即係一個個案冇得同時屬多過一個子群體，${\displaystyle \sum \pi _{k}=1}$（啲 ${\displaystyle \pi _{k}}$ 冚唪唥加埋嗮數值會係 1）。
• 假設咗局部獨立（local independence；嗰啲指標之間係條件獨立嘅）^{[註 3]}。

噉想像以下嘅聯合概率分佈^{[4]:p. 6}：

${\displaystyle {\text{P}}(u_{1i},u_{2i},...u_{Mi})=\sum _{k=1}^{K}[\pi _{k}(\prod _{m=1}^{M}{\text{P}}(u_{mi}|c_{i}=k))]}$

而 ${\displaystyle \tau _{mk}}$ 用嚟表示模型參數，指 ${\displaystyle c}$ 同啲 ${\displaystyle u}$ 之間嘅關係。攞住數據，${\displaystyle \tau _{mk}}$ 等嘅參數值可以用最大似然估計^[4]:Q7等嘅方法估計^[7]。

類別列舉（class enumeration）係指「決定類別數量 ${\displaystyle K}$ 要係幾多」嘅過程。最基本上，研究者可以試吓幾個 ${\displaystyle K}$ 值唔同嘅模型，睇吓每個模型啲適合度係點，再揀適合度數值最理想嗰個模型；又或者由 ${\displaystyle K=1}$ 開始行，一路慢慢噉將 ${\displaystyle K}$ 數值上升，睇吓啲適合度數值會點變化^[3]。

模型評估

LCA 建立嘅模型嘅適合度可以用以下呢啲指標衡量：

• 貝葉斯資訊量準則（BIC）
• 赤池資訊量準則（AIC）
• 可詮釋度（interpretability）

... 呀噉。

軟件

以下呢啲軟件喺 2020 年代都成日畀人攞嚟做 LCA ^[4]:Q6：

• R 程式語言
• Stata
• 統計分析系統

... 呀噉。

睇埋

• 結構方程模型
• 聚類分析
• 探索數據分析
• 混合物模型

註釋

1. 呢點畀唔少人覺得係 LCA 同聚類分析比嘅主要缺點之一。
2. 啲指標可以係同一個變數响唔同時間點嘅值。可以睇吓縱向研究嘅概念。
3. 技術性啲講，即係話「屬邊個子群體」解釋嗮啲指標之間嘅共同變異。

文獻

• Clogg, C. C. (1995). Latent Class Models. In G. Arminger, C. C. Clogg, & M. E. Sobel (Eds.), Handbook of statistical modeling for the social and behavioral sciences. New York: Plenum，一篇早期嘅 LCA 入門文。
• Finch, W. H., & Bronk, K. C. (2011). Conducting confirmatory latent class analysis using M plus. Structural Equation Modeling, 18(1), 132-151，呢篇文最後一節有講到「做 LCA 樣本要有幾大」嘅問題。
• Lanza, S. T., Flaherty, B. P., & Collins, L. M. (2003). Latent class and latent transition analysis. Handbook of Psychology, 663-685.