等比數列

等比數列，有時叫幾何數列，係一種常見數列，每一項同前項嘅比係同一樣嘅，叫做公比。例如 1,2,4,8,16,32,...，公比係2。

數學嘅數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

雙複數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 共四元數 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = ${\displaystyle +{\sqrt {-1}}}$ 無窮大量 ∞

定義

• 數列嘅每一項都唔可以係0。
• 除咗首項，數列嘅每一項同前項嘅比都係同一個數，叫做公比，通常用 ${\displaystyle r}$ 表示。
• 如果數列係 ${\displaystyle a_{0}\ ,\ a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ ...\ ,\ a_{n}}$，

公比 ${\displaystyle r={a_{1} \over a_{0}}={a_{2} \over a_{1}}={a_{3} \over a_{2}}=...={a_{n} \over a_{n-1}}}$

• 如果 ${\displaystyle a_{0}}$ 係首項，就有：

${\displaystyle a_{1}=a_{0}\ r}$

${\displaystyle a_{2}=a_{1}\ r=a_{0}\ r^{2}}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}\ r=a_{1}\ r^{2}=a_{0}\ r^{3}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle a_{n}=a_{0}\ r^{n}}$

求和公式

假設 ${\displaystyle s_{n}}$ 係頭 ${\displaystyle n}$ 項嘅和：

${\displaystyle s_{n}={\sum _{k=0}^{n-1}}\ a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}}$，

根據定義可寫成

${\displaystyle s_{n}=a_{0}+a_{0}\ r+a_{0}\ r^{2}+a_{0}\ r^{3}+...+a_{0}\ r^{n-1}}$

成條式除以 ${\displaystyle a_{0}}$ (按照定義 ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ 所以可當做除數 )

${\displaystyle {s_{n} \over a_{0}}=1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1}}$

將等號右邊因式分解

${\displaystyle {s_{n} \over a_{0}}={1-r^{n} \over 1-r}}$

所以頭 ${\displaystyle n}$ 項嘅和係

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{1-r^{n} \over 1-r}}$

如果有無限項

${\displaystyle {\lim _{n\to \infty }}s_{n}={\lim _{n\to \infty }}\left(a_{0}{1-r^{n} \over 1-r}\right)}$

當 ${\displaystyle |r|<1}$ 時收斂

${\displaystyle {\lim _{n\to \infty }}s_{n}={a_{0} \over 1-r}}$

睇埋

• 等差數列