中心矩

在概率论或者统计学中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中矩亦被稱作动差）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的動差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定義

对于一维随机变量${\displaystyle X}$，其${\displaystyle k}$阶中心矩${\displaystyle \mu _{k}}$为相對於${\displaystyle X}$之期望值的${\displaystyle k}$阶矩：

${\displaystyle \mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx}$

前幾階中心矩具有較直觀的意義。

• 第0階中心矩${\displaystyle \mu _{0}}$恆為1。
• 第1階中心矩${\displaystyle \mu _{1}}$恆為0。
• 第2階中心矩${\displaystyle \mu _{2}}$為${\displaystyle X}$的方差${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$。
• 第3階中心矩${\displaystyle \mu _{3}}$用於定義${\displaystyle X}$的偏度。
• 第4階中心矩${\displaystyle \mu _{4}}$用於定義${\displaystyle X}$的峰度。

性質

• 中心矩具有平移不變性。對於任意的隨機變量${\displaystyle X}$和任意常數${\displaystyle c}$，恆有：

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)}$

• n階中心矩是n次齊次函數。

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)}$

• 只有當${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$，且${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為兩個互相獨立的隨機變量時，中心矩才具有加法性。

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)}$

另一個與中心矩類似，但在${\displaystyle n\geq 4}$時仍保有加法性的統計量為n階累積量${\displaystyle \kappa _{n}}$。