矩 (數學)

矩^[1]（英語：moment, rectangle, oblong）又稱动差^[2][3]，其概念来自于物理学。在物理学中，矩用来表示物体形状的物理量，為重要参数指标。在數學中，矩的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個“二階矩”，我們在一維上可以測量它的“寬度”；而在更高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分佈，我們還可以對點的云結構進行測量和描述。其他的矩用來描述諸如與均值的歪斜分佈情況（偏態），或峰值的分佈情況（峰態）等其他方面的分佈特點。

定义

设隨機變數（或統計量，下同）${\displaystyle X}$的概率密度函数为${\displaystyle f(x)}$。

对于离散型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$

对于连续型随机变量，在存在的前提下，其相对于值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$阶矩为：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$

特别地，当${\displaystyle c=0}$时称之为原点矩，当${\displaystyle c=E(X)}$时称之为中心矩。

期望（Expectation）

隨機變數的期望値定義為其1階原動差：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$

在變異數等定義中，期望值也稱為隨機變量的“中心”。顯然，任何隨機變量的1階主動差為0。

方差（Variance）

隨機變量的方差定義為其2階主動差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$

偏態（Skewness）

隨機變量的偏態定義為其3階主動差：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$

峰態（Kurtosis）

隨機變量的峰態定義為其4階主動差：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$

样本矩

矩常常通过样本矩

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$

来估计。此方法不需要先估计其概率分布。

參見

• 主動差
• 矩生成函數
• 力矩