代數閉域

在數學上，一個域${\displaystyle F}$被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于${\displaystyle F}$且次數大於零的單變數多項式在${\displaystyle F}$裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。

例子

舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$列出${\displaystyle F}$的所有元素，則下列多項式在${\displaystyle F}$中沒有根：

${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,}$

反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

等價的刻劃

給定一個域${\displaystyle F}$，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

不可约多项式若且唯若一次多项式

域 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，当且仅当环 ${\displaystyle F[x]}$ 中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，${\displaystyle p(x)}$ 是 ${\displaystyle F[x]}$ 的一个不可约多项式，那么它有某个根 ${\displaystyle a}$，因此 ${\displaystyle p(x)}$ 是 ${\displaystyle x-a}$ 的一个倍数。由于 ${\displaystyle p(x)}$ 是不可约的，这意味着对于某个 ${\displaystyle k\in F\backslash \{0}\}$，有 ${\displaystyle p(x)=k(x-a)}$。另一方面，如果 ${\displaystyle F}$ 不是代数闭域，那么存在 ${\displaystyle F[x]}$ 内的某个非常数多项式 ${\displaystyle p(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 内没有根。设 ${\displaystyle q(x)}$ 为 ${\displaystyle p(x)}$ 的某个不可约因子。由于 ${\displaystyle p(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 内没有根，因此 ${\displaystyle q(x)}$ 在 ${\displaystyle F}$ 内也没有根。所以，${\displaystyle q(x)}$ 的次数大于一，因为每一个一次多项式在 ${\displaystyle F}$ 内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数 ${\displaystyle F}$ 内的 ${\displaystyle n\geq 1}$ 的多项式 ${\displaystyle p(x)}$ 都可以分解成线性因子。也就是说，存在域 ${\displaystyle F}$ 的元素 ${\displaystyle k,x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$，使得 ${\displaystyle p(x)=k(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$。

如果 ${\displaystyle F}$ 具有这个性质，那么显然 ${\displaystyle F[x]}$ 内的每一个非常数多项式在 ${\displaystyle F}$ 内都有根；也就是说，${\displaystyle F}$ 是代数闭域。另一方面，如果 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域 ${\displaystyle K}$，任何 ${\displaystyle K[x]}$ 内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对 ${\displaystyle F}$ 成立。

${\displaystyle F^{n}}$ 的每一个自同态都有特征向量

域 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数 ${\displaystyle n}$，任何从 ${\displaystyle F^{n}}$ 到它本身的线性映射都有某个特征向量。

${\displaystyle F^{n}}$ 的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，每一个 ${\displaystyle F^{n}}$ 的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个 ${\displaystyle F^{n}}$ 的自同态都有特征向量，设 ${\displaystyle p(x)}$ 为 ${\displaystyle F[x]}$ 的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式 ${\displaystyle q(x)}$，它有根当且仅当 ${\displaystyle p(x)}$ 有根。但如果 ${\displaystyle q(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$，那么 ${\displaystyle q(x)}$ 是以下友矩阵的特征多项式：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

有理表达式的分解

域 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于 ${\displaystyle F}$ 内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为 ${\displaystyle {\frac {a}{(x-b)^{n}}}}$的有理函数之和，其中 ${\displaystyle n}$ 是自然数，${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的元素。

如果 ${\displaystyle F}$ 是代数闭域，那么由于 ${\displaystyle F[x]}$ 内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域 ${\displaystyle F}$ 成立。设 ${\displaystyle p(x)}$ 为 ${\displaystyle F[x]}$ 内的一个不可约元素。那么有理函数 ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ 可以写成多项式函数 ${\displaystyle q}$ 与若干个形为 ${\displaystyle {\frac {a}{(x-b)^{n}}}}$ 的有理函数之和。因此，有理表达式

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于 ${\displaystyle p(x)}$ 是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

代數閉包

設${\displaystyle E\supset F}$為代數擴張，且${\displaystyle E}$是代數閉域，則稱${\displaystyle E}$是${\displaystyle F}$的一個代數閉包。可以視之為包含${\displaystyle F}$的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設${\displaystyle E,E'}$為任兩個${\displaystyle F}$的代數閉包，則存在環同構${\displaystyle \sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'}$使得${\displaystyle \sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}}$；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 ${\displaystyle F^{\mathrm {alg} }}$ 或${\displaystyle {\bar {F}}}$。

文獻

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5