分配上半格

在序理论中，分配并半格（英語：distributive join-semilattice）和分配交半格（distributive meet-semilattice）是分配格到半格的推广。与分配格不同，分配并（交）半格不再是使用像分配律一样的恒等式来定义，而通过恒等式定义实际上也是不可能做到的。^[1]

定义

对于并半格${\displaystyle (S,\vee )}$（任两元具有上确界${\displaystyle a\vee b}$的偏序集），以下条件等价，满足此条件的并半格称为分配并半格。

• 对于任意${\displaystyle a,b,c\in S}$，如果${\displaystyle c\leq a\wedge b}$，那么存在${\displaystyle a'\leq a}$和${\displaystyle b'\leq b}$使得${\displaystyle c=a'\wedge b'}$。
• ${\displaystyle S}$的序理想构成的并半格${\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}$是分配格。^{[2]:167, Lemma 184(iii)}

对偶地可以定义分配交半格。

性质

在分配并半格中，任意两个元素都有下界。^{[2]:167, Lemma 184(ii)}

与分配格不同，分配并半格的类不关于子代数封闭，从而不构成簇。其实，任何由并半格构成的簇都不能推广分配格到并半格，也就是不能使其对于格的情形与分配格一致。^[1]

例

对于格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$，以下条件等价。

• 并半格${\displaystyle (L,\vee )}$是分配并半格。
• 格${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$是分配格。