外餘割

外餘割（excosecant^[1][2]）又稱餘外割（coexsecant^[3][4][5]）是一種可以根據餘割定義的三角函數，现很少使用。 其符号通常表示为${\displaystyle \operatorname {excosec} x}$或${\displaystyle \operatorname {exc} x}$^[6]。 其函數值比餘割函數少1，換句話說，其與餘割的關係可以用下列等式表達：^[2]

${\displaystyle \operatorname {excosec} x=\csc(x)-1}$。

外餘割
性質
奇偶性	非奇非偶
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
到達域	${\displaystyle -2\geq \operatorname {excsc} x\geq 0}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
當x=0	∞
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	${\displaystyle x=k\pi }$ （x=180°k）
根	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$ （${\displaystyle 90^{\circ }+360^{\circ }k}$）
臨界點	${\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}$ （180°k-90°）
k是一個整數。

在單位圓上，外餘割位於餘割線上單位圓的外側，因此稱為外餘割。此外，外餘割也有exterior cosecant^[7]、external cosecant^[8]、outward cosecant和outer cosecant等稱呼。在數學表達式中，外餘割除了表示為${\displaystyle \operatorname {excosec} x}$或${\displaystyle \operatorname {exc} x}$之外，在不同文獻中，外餘割也有${\displaystyle \operatorname {coexsec} x}$^[9][4][5]、${\displaystyle \operatorname {excsc} x}$^[1][2]、${\displaystyle \operatorname {xcs} x}$^[10]等表示方式。

外餘割曾被用來描述費米子的动能。^[11][12]

定義

在单位圆上表示的三角函数

在單位圓上，角${\displaystyle \theta }$的外餘割可以定義為，在y軸上，從單位圓圓周沿y軸到「角${\displaystyle \theta }$的終邊與單位圓交點的切線」的長度。由於從角的頂點沿y軸到「角${\displaystyle \theta }$的終邊與單位圓交點的切線」的長度為餘割，因此餘割與外餘割相差1，即外餘割為餘割扣掉單位圓半徑。

外餘割也可以定義為：

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}$${\displaystyle =\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$

歷史

直到20世紀80年代，外餘割函數與外正割函數都在數個有高精度計算需求的領域中有著重要的作用。^[13][14]由於在角度接近${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$（90度）時，餘割函數的值會接近於1，引此使用上述公式來計算外餘割的話，會在這些角度的函數值上出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此這時對餘割函數表的精確度要求將非常高，而若定義了外餘割函數，則使用外餘割函數的函數表則能一定程度上的避免上述問題。但後來隨著计算器和计算机的發展與廣泛使用，因此外餘割函數的需求已經逐漸變的不明顯，因此現在只有非常少數的情況會使用到外餘割函數。^[13]

外餘割的術語coexsecant^[3]和coexsec^[15]早在1880年就已經有文獻使用了^[15][3]，而自1909年開始，外餘割在文獻中則是使用excosecant^[1]。該函數也被阿尔伯特·爱因斯坦用來描述費米子的动能。^[11][12]

計算

在早期计算机不普遍的時候，外餘割函數的計算若使用公式${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\csc(\theta )-1}$來計算的話，會在角度接近${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2\pi }$（90度）及其同界角時出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此若要更精確地計算外餘割函數的話，需要使用以下等式：^[8]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).}$$

但在计算机不普遍的的時代，要做這些乘法運算非常耗時，因此專用於外餘割函數的函數表就會變得很有用。

恒等式

导数

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}}$

積分

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

与其他三角函数的关系

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\ }$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$^[12]

反外餘割

外餘割的反函數

反外餘割（arcexcosecant）是外餘割的反函數。符號通常會表示為arcexcosec、 arcexcsc^[1]、 aexcsc、 aexc、 arccoexsecant、 arccoexsec或excsc⁻¹。其定義為：

${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}$

參見

• 外正割