平衡点 (数学)

在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。

定义

对于微分方程

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

若${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=0}$对任意${\displaystyle t}$都成立，则称${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$为此微分方程的平衡点。

类似地，对于差分方程

${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k}),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

若${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$对${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$都成立，则称${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$为此差分方程的平衡点。

分类

微分方程可以被线性化为以下形式

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {x} }$

其中${\displaystyle \mathbf {A} }$是${\displaystyle \mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$在平衡点${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$处的雅可比矩阵。通过观察矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征值的符号，可以判断平衡点${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$的稳定性。

若${\displaystyle \mathbf {A} }$的所有的特征值的实部均不为0，则${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是鞍点。

关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设${\displaystyle \mathbf {G} }$是${\displaystyle \mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$在平衡点${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$处的雅可比矩阵。

若${\displaystyle \mathbf {A} }$的所有的特征值的模均不为1，则${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是鞍点。

参考文献

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 10th. Wiley. 2012. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence. Differential Equations and Dynamical Systems 3rd. Springer. 2001: 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.