雅可比矩阵

在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。

當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。^[1]

其重要性在於，如果函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 在點 ${\displaystyle x}$ 可微的話，在點 ${\displaystyle x}$ 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 ${\displaystyle f}$ 在點 ${\displaystyle x}$ 的微分或者導數。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。

它们都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。

雅可比矩阵

假設某函數從 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$， 從 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 映射到 向量 ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} ^{m}}$， 其雅可比矩陣是一 ${\displaystyle m\times n}$ 的矩陣，換句話講也就是從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 的線性映射，其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。

此函數 ${\displaystyle f}$ 的雅可比矩陣 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 為 ${\displaystyle m\times n}$ 的矩陣，一般由以下方式定義：

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

矩陣的分量可表示成：

${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

雅可比矩陣的其他常用符號還有：

${\displaystyle Df}$、 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$、${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 或者 ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

此矩陣的第 ${\displaystyle i}$ 行是由函數 ${\displaystyle f_{i}}$ 的梯度函数所表示的，${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ 。

如果 ${\displaystyle p}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的一点，${\displaystyle f}$在 ${\displaystyle p}$点可微分，根據數學分析， ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$是在这点的导数。在此情况下，${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$這個线性映射即 ${\displaystyle f}$ 在点  ${\displaystyle p}$附近的最优线性逼近，也就是說當 ${\displaystyle x}$足夠靠近點  ${\displaystyle p}$時，我們有

${\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)}$

講更詳細點也就是：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}$

其中，${\displaystyle o}$ 代表小o符號，${\displaystyle \lVert x-p\rVert }$ 為 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle p}$ 之間的距離。

例子

例一

由球坐标系到直角坐标系的转化由 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{+}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ 函数给出，其分量為：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

此坐标变换的雅可比矩阵是

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}}$

其雅可比行列式為 ${\displaystyle r^{2}\sin \theta }$。以體積元變換爲例，由於 ${\displaystyle \operatorname {d} \!V=\operatorname {d} \!x\ \operatorname {d} \!y\ \operatorname {d} \!z}$，如果做變數變換，則其體積元（Volume element， ${\displaystyle \operatorname {d} \!V}$），會變成：${\displaystyle \operatorname {d} \!V=r^{2}\sin \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\varphi }$。

例二

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}}$，其各分量為

${\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}$

${\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,}$

其雅可比矩阵为:

${\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}}$

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中

考虑形为 ${\displaystyle x^{\prime }=F(x)}$的动力系统，${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$。如果 ${\displaystyle F(x_{0})=0}$，那么 ${\displaystyle x_{0}}$是一个臨界點。系统接近臨界點时的行為跟 ${\displaystyle J_{F}(x_{0})}$的特征值相關。

雅可比行列式

如果 ${\displaystyle m=n}$，那么 ${\displaystyle F}$ 是从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 映射到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方陣。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要資訊。例如，如果连续可微函数 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点的Jacobi行列式不等於零，那么它在该点附近有 ${\displaystyle F}$ 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果  ${\displaystyle p}$ 点的Jacobi行列式是正数，则 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 ${\displaystyle F}$ 逆轉定向（reverses orientation）。而从Jacobi行列式的绝对值，就可以知道函数 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 點附近是放大或縮小體積；这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子一

设有函数 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$，其分量为：

${\displaystyle y_{1}=5x_{2}\,}$

${\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,}$

${\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}\,}$

则它的Jacobi行列式为：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}}$

从中我们可以看到，當 ${\displaystyle x_{1}}$ 和 ${\displaystyle x_{2}}$ 同号时，${\displaystyle F}$ 逆轉定向；该函数处处具有反函数，除了在 ${\displaystyle x_{1}=0}$ 或 ${\displaystyle x_{2}=0}$ 的點。

例子二

这是一个与巴塞尔问题${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$较为相似的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$的求解方法，首先可以转化为二重积分（在这里 ${\displaystyle D_{1}}$ 指 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 皆为从 0 到 1 的正方形区域）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{2n}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}}$

此时定义映射 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$，满足：

${\displaystyle {\begin{cases}u=\arctan \left(x{\sqrt {\dfrac {1-y^{2}}{1-x^{2}}}}\right)\\v=\arctan \left(y{\sqrt {\dfrac {1-x^{2}}{1-y^{2}}}}\right)\end{cases}}\iff {\begin{cases}x={\dfrac {\sin u}{\cos v}}\\y={\dfrac {\sin v}{\cos u}}\end{cases}}}$

于是有相应的雅可比行列式：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\cos u}{\cos v}}&{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}v}}\\{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}u}}&{\dfrac {\cos v}{\cos u}}\end{vmatrix}}=1-{\frac {\sin ^{2}u\sin ^{2}v}{\cos ^{2}u\cos ^{2}v}}=1-x^{2}y^{2}}$

因此${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y=(1-x^{2}y^{2})\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$，并且将正方形 ${\displaystyle D_{1}}$ 映射成 ${\displaystyle u>0}$、${\displaystyle v>0}$、${\displaystyle u+v<{\frac {\pi }{2}}}$ 的等腰直角三角形，记为 ${\displaystyle D_{2}}$，得到：

${\displaystyle \iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\iint \limits _{D_{2}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}-v}\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

逆矩陣

根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$在點 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 ${\displaystyle F}$在點 ${\displaystyle p}$的某一鄰域內也是可逆的，且有

${\displaystyle J_{F^{-1}}\circ f=J_{F}^{-1}}$

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。

一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

参看

• 前推
• 黑塞矩阵