康托尔集

在数学中，康托尔集（Cantor set）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入^[1][2]（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯（英语：Henry John Stephen Smith）在1875年发现^[3][4][5][6]），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

一种像康托尔集图案的柱头。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828 请检查|date=中的日期值 (帮助) 菲莱岛雕塑

康托尔集的构造

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间${\displaystyle \left[0,1\right]}$中去掉中间的三分之一${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$，留下两条线段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间${\displaystyle [0,1]}$中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

则第${\displaystyle n}$步递归得到的结果：

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)}$, 对于${\displaystyle n\geq 1}$

所以：

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }C_{n}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$, 对于 ${\displaystyle m\geq 0}$.

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。^[7][8]

参见

• 康托尔函数
• 康托尔立方体（英语：Cantor cube）
• 谢尔宾斯基地毯
• 科赫雪花
• 门格海绵
• 以豪斯多夫维度排序的分形列表