开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 ${\displaystyle n}$ 越來越大時，數列 ${\displaystyle x_{n}}$ 跟 ${\displaystyle a}$ 極其靠近，則稱 ${\displaystyle a}$ 是數列 ${\displaystyle x_{n}}$ 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於「 ${\displaystyle a}$ 點附近」這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着蓝色。满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義

直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間

所謂的${\displaystyle n}$維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組${\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})}$的集合（記為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）。 為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中任兩點${\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}$ 與 ${\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ 的歐式距離定義為：

${\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$

然後定義所謂的（${\displaystyle n}$維）開球（open ball）：

${\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}}$

也就是直觀上，一個以${\displaystyle a}$為球心，${\displaystyle r}$為半徑但不包含表面的球體。

這樣就可以作如下的定義：

定義 — 
若 ${\displaystyle O\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ，且對所有 ${\displaystyle p\in O}$ ，存在一个 ${\displaystyle r>0}$ ，使${\displaystyle B(p,\,r)\subseteq O}$，那麼就說子集${\displaystyle O}$是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一個開集。

也就是直觀上，取開集 ${\displaystyle O}$ 的任意點 ${\displaystyle x}$ 都有一個以 ${\displaystyle x}$ 為球心的開球完全包含於 ${\displaystyle O}$ 。

賦距空间

只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间${\displaystyle (M,d)}$中。

以下把${\displaystyle (M,d)}$ 中的開球（open ball）定義成：

${\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}}$

這樣就可以作如下的定義：

定義 — 
${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的子集，且對所有 ${\displaystyle p\in U}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使${\displaystyle B(a,\,\delta )\subseteq U}$ ，則稱 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的一個開集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 ${\displaystyle d_{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本身就組成了一個賦距空間${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})}$。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

定理 — 
若 ${\displaystyle (M,d)}$ 為賦距空間，則

(1) ${\displaystyle \varnothing }$ 和 ${\displaystyle M}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的開集。

(2) 若 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的開集，則 ${\displaystyle A\cap B}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的開集。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ （ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的一個子集族），若所有 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的開集，則 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的開集。（也就是直觀上，任意數量開集的聯集也是開集）

證明

(1) 對每個${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle B(p,\,1)\subseteq M}$，所以${\displaystyle M}$是自己的一個開集；另外對所有${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle p\notin \varnothing }$（直觀上來說沒有點可以當開球的球心），所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於${\displaystyle \varnothing }$，就可以得到${\displaystyle \varnothing }$滿足開集的定義 （直觀上來說，前提為假的話，不論結論是否為真，「前提=>結論」都是對的）。${\displaystyle \Box }$ (2) 若${\displaystyle p\in A\cap B}$，依據假設存在${\displaystyle \delta _{A},\,\delta _{B}>0}$ 使得 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{A})\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{B})\subseteq B}$，這樣取 ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\}}$的話，就有${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B}$，是故${\displaystyle A\cap B}$也是${\displaystyle M}$ 的開集。${\displaystyle \Box }$ (3) 若${\displaystyle p\in \bigcup {\mathcal {F}}}$，依照聯集的性質，存在 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 使得 ${\displaystyle p\in O}$ ；但根據假設， ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的開集，換句話說，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq O}$ ，那因為 ${\displaystyle O\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，所以有 ${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，是故 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的開集。${\displaystyle \Box }$

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間

開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 ${\displaystyle X}$ 出發，再選取 ${\displaystyle X}$ 的特定的子集族 ${\displaystyle \tau }$ ，規定 ${\displaystyle \tau }$ 中的集合就是開集，这樣的子集族 ${\displaystyle \tau }$ 被叫做 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑：

定義 — 
${\displaystyle X}$ 為集合，若 ${\displaystyle \tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 滿足

(1) ${\displaystyle \varnothing ,\,X\in \tau }$

(2) 若 ${\displaystyle A,B\in \tau }$ 則 ${\displaystyle A\cap B\in \tau }$。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \tau }$ ，則 ${\displaystyle \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau }$ 。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱 ${\displaystyle \tau }$ 為 ${\displaystyle X}$ 上的拓撲，並稱 ${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 為一拓撲空間。任何 ${\displaystyle O\in \tau }$ 被稱為開集。

根據上一節賦距空間的性質，取 ${\displaystyle \tau _{d}}$ 為所有 ${\displaystyle M}$ 的開集所構成的子集族，則 ${\displaystyle (M,\,\tau _{d})}$ 也是一拓撲空間。

例子

• 度量空间${\displaystyle (X,d)}$中，以点${\displaystyle x\in X}$为中心，${\displaystyle \varepsilon }$为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$为开集，任意的开集${\displaystyle A}$包含以${\displaystyle x\in A}$为中心，充分小的${\displaystyle \varepsilon }$为半径的球体${\displaystyle B(x,\varepsilon )}$。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间${\displaystyle X}$的每個子集${\displaystyle A}$都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做${\displaystyle A}$的内部。它可以通过取包含在${\displaystyle A}$中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$以及函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，如果在${\displaystyle Y}$中的所有开集的前像是在${\displaystyle X}$中的开集，則${\displaystyle f}$是连续的，這是實函數上的連續定義的推廣，${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$時這與實函數的連續定義等價。如果在${\displaystyle X}$中的所有开集的像是${\displaystyle Y}$中的开集，映射${\displaystyle f}$被叫做开映射。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集

注释