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并集

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并集
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集合论数学的其他分支中,一群集合并集(Union)[1],是以这群集合的所有元素來构成的集合。

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A和B的并集

有限聯集

聯集是由公理化集合论分類公理來確保其唯一存在的特定集合

也就是直觀上:

「對所有 等價於

举例:

集合的并集是。数不属于素数集合偶数集合的并集,因为既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义: 例如,的并集含有所有的元素,所有的元素和所有的元素,而没有其他元素。形式上:

的元素,当且仅当属于属于属于
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代数性质

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即

。事实上,也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即,对任意集合。可以将空集当作个集合的并集。

结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

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无限并集

公理化集合论并集公理,有唯一的集合 滿足:

也就是直觀上「對所有 和所有 等價於有某個 的下屬集合 ,使得」。以上的 可以直觀的視為一個集合族,而把 看成對 內的集合取并集,例如:

但這個公理並沒有對 下屬集合的數量做出任何限制,所以這個 被俗稱為任意并集无限并集

,會稱 覆蓋(cover),也就是直觀上可以用 裡的所有集合疊起來蓋住

无限并集有多种表示方法:

可模仿求和符号記為

但大多數人會假設指标集 的存在,換句話說

指标集 自然数系 的情况下,更可以仿无穷级数來表示,也就是說:

也可以更粗略直觀的將 写作

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无限并集的性質

定理(0) — 

更多信息 (1) ...
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比較性質

定理(1) — 

更多信息 , (u) ...
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覆蓋性質

定理(2) — 

正好就是其冪集的聯集」,這個定理直觀上可理解成,因為冪集 是以 子集為元素,所以 的聯集理當是

更多信息 , (u) ...

定理(3) — 

直觀上,這個定理說「一群集合的聯集包含於 ,則它們個個都包含於

更多信息 (1) ...

定理(4) — 

直觀上,這個定理說「集族 的聯集為 ,則對 的每點 ,都可從 裡找到一個 的鄰域 ,且這個鄰域不會比 大 」

更多信息 , (u) ...
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運算性質

定理(5) — 

更多信息 (1) ...

直觀上這個定理說,交集在「无限并集满足分配律」,一般會不正式的寫為

定理(6) — 
,若對自然数 做以下的符號定義:

那有

這個定理一般會被不正式的寫為

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参考

参考文献

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