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循环小数
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循环小数,也稱為無限循環小數,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。
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定義
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性质
- 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数,循环节位数一定是N-1的因数(参见:费马伪素数)。為了证明这点,可用反证法。假设的循环节为m,令m>n。将1/n乘以10,循环往复操作,会得到不同的余数。根据余数定义,余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数,所以只有n-1种循环节。若长度为m位,则必有(m-n+1)种循环节无法轮替,所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
- 根據分數的情況分開討論
- 1.除数a为的倍數时,有max(m,n)个不循环位数,其中為任意自然數,為非之其他數。
- 2.如果,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為的循環節位數,而e=。[1]
- 表示可以整除a,或稱與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:來看,也成立,例如與,兩者循環小數一致,因為,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成⋯時,會有max(m,n)個不循環位數,和個循環節位數。
- 其中,, ,⋯,分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數e1,e2,...,en。
- 例:的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
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化為分數的方法
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)
(⬇另一方法)
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计算方法
例如可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000 0.42857142857142857...
表示方法
循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例,但没有一种惯例是通用的。
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缺点
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
与進位制系統密切相关
由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如:
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
又或
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参考资料
參見
外部連結
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