数列极限

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数列極限（英語：limit of a sequence）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一复数數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$，若有一複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，使得

「对于任意的正实数 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，則 ${\displaystyle |z_{i}-z|<\epsilon }$ 」

用正式的邏輯語言来表示即

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]}$

则称数列${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$收敛于 ${\displaystyle z}$（convergent to ${\displaystyle z}$ ），並记作

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

如果不存在這樣的複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$，則稱 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 ${\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 來說，若

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$

則其極限 ${\displaystyle z}$ 一定為实数 ，

證明

假設 ${\displaystyle z}$ 的虛部 ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0}$ 的話，則對極限定義取 ${\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0}$ 的話，會存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$有 ${\displaystyle |z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}$ 這是矛盾的，所以根據反證法，${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0}$ ，即 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ 。${\displaystyle \Box }$

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 的極限存在，則極限是唯一的。^[1]:29

證明

設數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有兩個不相等的極限值${\displaystyle z,\,z^{\prime }\in \mathbb {C} }$，則根據假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$，使任意 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |z_{i}-z|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |z_{i}-z^{\prime }|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 這樣根據三角不等式，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ， 只要自然數 ${\displaystyle i>n}$ 就有則 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|=|(z-z_{i})-(z^{\prime }-z_{i})|\leq |z-z_{i}|+|z^{\prime }-z_{i}|<\epsilon }$ 這樣的話，根據不極限不相等的假設有 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|>0}$ 所以可以取${\displaystyle \epsilon =|z-z^{\prime }|}$而得到 ${\displaystyle |z-z^{\prime }|<|z-z^{\prime }|}$ 這樣是矛盾的，故根據反證法， ${\displaystyle |z-z^{\prime }|=0}$ ，也就是 ${\displaystyle z=z^{\prime }}$，故極限唯一。${\displaystyle \Box }$

有界性

定理 — 若複數數列${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有極限，則存在正实数 ${\displaystyle M>0}$ ，使得對所有的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 都有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$。^[1]:29-30

（即 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有極限則必為有界數列）

證明

因為${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$有極限，所以有复数 ${\displaystyle L\in \mathbb {C} }$ 滿足 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ 這樣的話，對於 ${\displaystyle \epsilon =1>0}$ ，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，只要 ${\displaystyle i>n}$，則 ${\displaystyle |x_{i}-L|<\epsilon =1}$ 從而 ${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ 這樣的話，令 ${\displaystyle M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)}$ 就會有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$ 故得証。${\displaystyle \Box }$

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個複數數列無界，則這個複數數列一定發散。」^[1]:30

注意有界數列不一定有極限，如數列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。

保序性

定理 — 有實數數列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

則「${\displaystyle a>b}$ 」等價於「存在${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有 ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$」。^[1]:30

證明

左至右： 取${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$，則由前提假設，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$ 从而 ${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$ 故 ${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$ 這樣取 ${\displaystyle n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ ，左至右就得證。${\displaystyle \Box }$ 右至左： 由前提假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}}$ 就有 ${\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a}$ ${\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b}$ ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$ 从而 ${\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b}$ 故得證。${\displaystyle \Box }$

四則運算定理

加減法定理 — 有複數數列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

則

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$

證明

對任意${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}>0}$ ，所以根據前提，對 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 這樣根據三角不等式有 ${\displaystyle |(x_{i}-y_{i})-(a-b)|\leq |x_{i}-a|+|b-y_{i}|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$ ${\displaystyle |(x_{i}+y_{i})-(a+b)|\leq |x_{i}-a|+|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$ 故得證。${\displaystyle \Box }$

乘法定理 — 有複數數列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

則

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$

證明

對任意正整數${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ 有 ${\displaystyle x_{j}(y_{j}-b)+b(x_{j}-a)=x_{j}y_{j}-ab}$ (1) 且根據上面的有界性，存在${\displaystyle M>0}$ 使得 ${\displaystyle |x_{j}|\leq M}$ (2) 那對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{|b|+M}}>0}$ ，所以根據前提，對 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$ 就有 ${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}}$ ${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}}$ 這樣根據三角不等式和(1)(2)式就有 ${\displaystyle |x_{i}y_{i}-ab|\leq |x_{i}||y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|\leq M|y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|<M{\frac {\epsilon }{|b|+M}}+|b|{\frac {\epsilon }{|b|+M}}=\epsilon }$ 故得證。${\displaystyle \Box }$

除法定理 — 
有實數數列${\displaystyle {\{x_{i}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 滿足

(1) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

(2) ${\displaystyle a\neq 0}$

(3) 存在正整數${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 使任意正整數 ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle j>m}$ 則${\displaystyle x_{j}\neq 0}$

則

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{a}}}$

證明

根據前提(1)，對 ${\displaystyle {\frac {|a|}{2}}>0}$ 存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有 ${\displaystyle a-{\frac {|a|}{2}}<x_{i}<a+{\frac {|a|}{2}}}$ (a) 根據實數系的三分律跟前提(2)，不是 ${\displaystyle a>0}$ 就是 ${\displaystyle a<0}$； 先假設${\displaystyle a>0}$ ，那根據(a)有 ${\displaystyle {\frac {|a|}{2}}={\frac {a}{2}}<x_{i}=|x_{i}|}$ (b) 另一方面，若${\displaystyle a<0}$，同樣根據(a)有 ${\displaystyle x_{i}<{\frac {a}{2}}<0}$ (c) 所以綜合(b)(c)，可以結論 「存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>n}$ 就有${\displaystyle {\frac {1}{|x_{i}|}}<{\frac {2}{|a|}}}$」(d) 那對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$ 有 ${\displaystyle {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}>0}$ ，所以根據前提(2)(3)和式(d)，對 ${\displaystyle \epsilon >0}$ 存在 ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ ，使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ 只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n,\,m\}}$ 就有 ${\displaystyle \left|{\frac {1}{x_{i}}}-{\frac {1}{a}}\right|={\frac {|x_{i}-a|}{|a||x_{i}|}}<{\frac {2|x_{i}-a|}{|a|^{2}}}<{\frac {2}{|a|^{2}}}\cdot {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}=\epsilon }$ 故得證。${\displaystyle \Box }$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以對一般${\displaystyle {\frac {x_{i}}{y_{i}}}=x_{i}\cdot {\frac {1}{y_{i}}}}$的狀況取極限。

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

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