根值审敛法

根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第${\displaystyle n}$项的绝对值的${\displaystyle n}$次方根的上极限与1的大小关系。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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定理

根值审敛法判断流程表

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是要判断审敛性的级数，令

${\displaystyle C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},}$

• 当${\displaystyle \,C<1\,}$时级数绝对收敛（当然同时也收敛）
• 当${\displaystyle \,C>1\,}$或${\displaystyle \,C=\infty \,}$时级数发散
• 当${\displaystyle \,C=1\,}$ 时级数可能收敛也可能发散^[1]。

证明：

当${\displaystyle \,C<1\,}$时，取${\displaystyle \,q\in (C,1)}$，由上极限的定义，${\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,}$应当有收敛于${\displaystyle \,C\,}$的子列${\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,}$，由极限的保序性，${\displaystyle \,\exists N\in \mathbb {N} }$，使${\displaystyle \,n>N\,}$时，${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,}$（否则，总可以取出极限不比${\displaystyle \,q\,}$小的子列，和${\displaystyle \,C\,}$的定义矛盾）。因而，${\displaystyle n>N\,}$时，有${\displaystyle \,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,}$，又因为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,}$是收敛的，由比较审敛法，${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,}$收敛，即${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$绝对收敛。 当${\displaystyle \,C>1\,}$或${\displaystyle \,C=\infty \,}$时，取子列${\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,}$，从而${\displaystyle \,\exists K\in \mathbb {N} \,}$，使得${\displaystyle \,k>K\,}$时，${\displaystyle \,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1}$。这意味着${\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,}$，根据通项极限判别法，级数${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$是发散的。 例：${\displaystyle {\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,}$，但${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,}$发散，而${\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,}$。